Диагональная система векторов и ее линейная зависимость.
Рассмотрим систему векторов лестничного вида. Понятно, что это эн векторов, у первого нет нулей, у второго - один нуль впереди, у третьего два нуля впереди и так далее до последнего, у которого все нули, кроме последнего члена. Эта система линейно независима (лемма). Для ее доказательства допустим, что система линейно зависима. Тогда первый вектор, у которого нет нулевых координат, может быть выражен через все другие. Но при этом окажется, что его (первого вектора) первая координата равна 0, поскольку первые координаты всех других векторов равны 0. Но первая координата первого вектора не равна 0 по определению, следовательно, наше утверждение о линейной зависимости лестничной системы векторов ложно, а верно обратное, то есть эта система линейно независима, что и требовалось доказать.