Скалярное произведение в R2 и Rn. Его свойства.
ОПР: Скалярным произведением двух векторов a=(a1 , a2 , ..., an ) и b=(b1, b2, ..., bn) называется число (a, b)=a1b1+a2b2+ ...+anbn.
Основные свойства скалярного произведения векторов: 1.)=(b, a). 2. (ka, b)=k (a, b) 3. (a, b+ c)=(a, b)+ (a, c) 4. (a, a)> 0, если а= 0 и (a, a)= 0, если a=0
Для векторов из R3 справедливо равенство (a, b)=|вектор а|*|вектор в|*cos.
и как следствие, |вектор а|=КОРЕНЬ КВ( вектор а, вектор а) (1.1)
cos.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в| (1.2)
Равенство 1.2 справедливо при вектор а0 и вектор в0.
Равенства 1.1 и 1.2 подсказывают, как определить для векторов из Rn, где n>3, понятие модуля вектора и угла между векторами.
ОПР: Для вектора из Rn (n - любое) модуль вектора a и косинус угла между двумя ненулевыми векторами a и b определяются с помощью формул (1.1) и (1.2).
Однако формула (1.2) не совсем проста. Уравнение cos = с, (где - неизвестное число) имеет решение только при –1c1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1. Для этог имеется неравенство Коши-Буняковского.
ТЕОР: Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов a и b из Rn справедливо неравенство (a, b)2 < (a, a) (b, b)