Определители n-го порядка. Свойства.
Рассмотрим определитель n-го порядка.
|a11 a12 ... a1n |
|a21 a22 ... a2n |
A= |......................|
|am1 am2 ... amn|
Выделим в нем какой-то определенный элемент aij. Вычеркнем из определителя строку и столбец, в которых расположен элемент aij, т.е. i-ю строку и i-й столбец. Останется некий определитель (n-1)-го порядка. Этот определитель называется минором элемента aij в определителе А и обозначается Mij
ОПР: Алгебраическим дополнением элемента aij в определителе А называется число Aij= (-1)i+ j Mij
ОПР: Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов строки, умноженная на их алгебраические дополнения.
Основная теорема об определителях: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения
А= ai1 Ai1+ ai2 Ai2+ ...+ ain Ain.
Вышеуказанное равенство называется разложением определителя по i-ой строке.
Свойства определителей.ДОКАЗАТЬ?
1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Осталльные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.
6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.
8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы Ат, т.е. определитель не меняется при транспонировании.