Практический подход к вычислению определителей n-ого порядка (на примере не ниже 4-го порядка).
Основная теорема об определителях:
Т.: Определитель равен сумме произведений элементов другой строки на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, для определителей n-ого порядка при любом i (i=1, 2,…, n) справедливо равенство: |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin. Равенство называется разложением определителя по i-ой строке. С его помощью нахождение определителя сводится к нахождению ряда миноров, то есть определителей (n – 1)-го порядка. Каждый из последних выражается через определители (n – 2)-го порядка и так далее. Практическое вычисление определителей основано именно на этой формуле (или же на аналогичной формуле разложения по столбцу). Можно сильно упростить нахождение, если знать свойства определителей. Так, равенство принимает более простой вид, если в i-ой строке определителя все элементы равны нулю, кроме одного — aij. Тогда получаем: |A| = aijAij = (–1)i+jaijMij.
В заданном определителе может не оказаться нужного количества нулей, поэтому иногда необходимо добиться их наличия, например, прибавляя и отнимая строки друг от друга. Приведем пример: Требуется вычислить
Det 1 3 –2 –2
0 –2 2 1
-1 2 –1 -1
1 –1 3 0
Решение: во второй строке уже имеется ноль, поэтому обнулим остальные элементы в этой строке, за исключением a24 = 1. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на 2, а к третьему — четвертый, умноженный на –2. Получаем определитель:
1 –1 2 –2
0 0 0 1
-1 0 1 –1
1 –1 3 0
Разложив данный определитель по второй строке, получаем:
1 –1 2
-1 0 1
1 -1 3
Теперь проделаем аналогичную операцию (прибавив, например, к третьему столбцу первый). Ответ: –1.