Нормальное уравнение прямой в R2. Расстояние от точки до прямой.
Итак, пусть есть вектор ОА перпендикулярно . Длина этого вектора равна p. Есть также единичный вектор n0 (длина которого равна 1), параллельный ОА. Очевидно, векторОА=p*n0 (1). М — произвольная точка на искомой плоскости ?: т. М (x; y; z).
Несложно догадаться, что вектор n0=( cos;cos;cos), где ?, β θ γ — σглы с осями абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Это легко доказать, нарисовав систему координат в двухмерном пространстве и учитывая, что длина вектора вектор n0 равна 1. Ясно, что в двухмерном пространстве вектор n0=(cos;cos;) (угла ведь только два — с осью абсцисс и ординат). При этом ? + β = 90о, следовательно n0=(cos;sin;) по элементарной формуле приведения. Ну, а длина его в этом случае будет равна |векторn0|= cos2+cos2=1 (2), что нам ниже понадобится.
Из (1) вытекает, что векторОА=(p*cos;p*cos;p*cos). Эти же координаты будет иметь и точка А. Поэтому вектор АМ= (х-p*cos;у-p*cos;z-p*cos). Вектор АМ перпендикулярен вектору n0, следовательно их скалярное произведение равно нулю. Запишем его в координатах:
(х-p*cos )cos +(у-p*cos) cos+(z-p*cos)cos=0
x cos+ycos+zcos-p(cos2+cos2+cos)=0
В последнем выражении в скобках — то же самое, что и в равенстве (2), только в трехмерном пространстве, то есть единица. Поэтому:
x cos+ycos+zcos-p=0 — это есть нормальное уравнение плоскости. Здесь p0всегда, поскольку длина вектора — число положительное.
x cos+ycos-p=0 — а это нормальное уравнение прямой
Под расстоянием от точки до прямой в двухмерном пространстве понимается длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую Ax + By + C = 0. Для нахождения этого расстояния существует теорема:
Т.: Пусть в плоскости, снабженной прямоугольной системой координат, задана прямая нормальным уравнением. Тогда d (расстояние от точки М до прямой L) будет найдено по формуле:
d(M;L)=| x cos+ycos-p |
Иными словами, нужно взять данное нормальное уравнение прямой, подставить в него координаты данной точки и вычислить полученное выражение, взяв его по модулю. Элементарно просто.