Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования матрицы. Способ нахождения ранга матрицы с помощью эквивалентных преобразований. Пример.
Определение 1: Ранг матрицы – число линейно независимых столбцов или строк, содержащихся в данной матрице.
Теорема: число линейно независимых строк, столбцов в матрице одно и то же.
Обозначение: r (А) — ранг матрицы А.
Следствие из определения:
1.Ранг нулевой матрицы равен нулю. В других случаях он есть положительное число
2.Ранг прямоугольной матрицы Аpчq не превосходит меньшее из чисел p и q.
3.Ранг квадратной матрицы равен ее порядку или меньше его.Если r (А)=r, то А содержит по крайней мере один ненулевой минор порядка r, а все миноры более высокого порядка, чем r, равны нулю.
4.Если r (Аn)<n, то не существует А-1, а определитель матрицы равен нулю.
Применение: обратная матрица А-1 существует, если ранг матрицы А равен ее порядку (в противном случае |А|=0 и А-1 не существует. Легче определить ранг, чем считать определитель.
Матрицы полного ранга: квадратные, |А|=0.
Матрицы полного строчного ранга: прямоугольные, r (А)= числу строк.
Матрицы полного столбцового ранга: прямоугольные, r (А)= числу столбцов.
Эквивалентные матрицы – матрицы, получаемые в результате последовательного умножения на элементарные операторы.
Элементарные операторы:
1. Еji – единичная матрица I , в которой лишь переставлены строки i и j. В результате умножения матрицы А слева на Еji i-ая и j-ая строки A меняются местами.
2. Rii () – единичная диагональная матрица I, у которой i-ый диагональный элемент равен не 1, а . В результате умножения матрицы А слева на Rii () i-я строка матрицы А оказывается умноженной на .
3. Pij () – единичная матрица I, в которой вместо 0 в i-строке j-м столбце (при ij) записана . Если матрицу А слева умножить на Pij (), то j-я строка А оказывается прибавленной раз к i-строке той же матрицы.
Примечание: если умножать справа (АЕij и т.д.), то те же преобразования справедливы для столбцов А.
Нахождение ранга:
Над каждым (i, i)-м элементом матрицы при I=1 до d , где d= меньшему из чисел r и c, нужно проделать следующие действия:
1) если элемент отличен от нуля, то нужно обратить его в ненулевой, поменяв местами i-ю и k-ю строки, где k=от i+1 до r, и (или) переставив i-ый и j-ый столбцы (j = i+1 до c).
2) К элементам строк i+1, i+2, …, r следует прибавить также произведение элементов i-ой строки на скалярные величины, которые могут обратить в нуль все элементы i-го столбца, находящиеся ниже диагонали.
3) Повторять 1) и 2), пока осуществление 1) окажется невозможным. Тогда число ненулевых диагональных элементов будет определять ранг исходной матрицы.
Пример: определить ранг матрицы В.
число ненулевых диагональных элементов равно 2, следовательно r (B)=2.