Постановка задачи линейного программирования. Примеры ЗЛП.
Социальное управление любым, в том числе экономическим, процессом сопровождается последовательным выбором и применением решения задач с учетом конкретной ситуации, направленных на достижение определенной цели.
Создание математической модели происходит от живого созерцания к теории и от нее снова к практике.
Задачи поиска оптимального решения среди множества допустимых получили название задач оптимизации. А математическая дисциплина, изучающая методы решения таких задач — математическое программирование.
Математическая модель оптимизационной задачи должна содержать систему ограничений в виде уравнений или неравенств, которым должны удовлетворять любые допустимые решения.
В задачах также должен присутствовать показатель, характеризующий каждое решение, с помощью которого решения могут быть сопоставлены между собой.
Обычно показатель задается функцией, она называется целевой.
В зависимости от вида ограничений целевой функции и характера других данных получаются различные виды моделей.
В зависимости от модели к ее анализу применяются различные математические методы, в частности линейное программирование.
Типична задача определения оптимального объема выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.
Например:
Рассмотрим таблицу:
Объем ресурсов Затраты
А В
2 1/4 1/5
50 3 4
Прибыль 1 1
Задача: выработать оптимальный план: определить сколько изделий вида А и В нужно выпустить, чтобы прибыль была максимальной.
Решение:
Пусть надо выпустить XA и XB, изделий вида А и В.
Ограничения:
1/4XA + 1/5XB 2
3XA + 4XB 50
Z = XA + XB — целевая функция.
Задача решается графическим методом.
Рассмотрим задачу в общем виде.
Объем ресурс Затр на ед пр
1 2 … k … n
а1 а11 а12 … а1k … а1n
… … … … … … …
аi аi1 аi2 … аik … аin
… … … … … … …
аn аn1 аn2 … аnk … аnn
Прибыль с1 с2 … сk … сn
обозначим кол-во единиц продукции, подлежащих выпуску через Xk.
Ограничения.
Xk 0;
Xk — целое (но необязательно);
Целевая функция.
Z = .
Вопрос: найти совокупность n переменных ( = (X1, X2, …, Xn)), удовлетворяющих всем условиям, для которых целевая функция вопрос ставит на максимум.
В качестве примеров ЗЛП можно привести виды моделей ЗЛП.
Вообще, что она имеет в виду под “примерами”? Надо спросить.