Вторая теорема двойственности. Каноническая теорема равновесия.
Если для оптимального решения одной из пары двойственных задач какое-либо неравенство выполняется как строгое, то соответствующая ему переменная в оптимальном решении двойственной задачи равна 0. И наоборот, если какая-либо переменная в оптимальном решении двойственной задачи не равна 0, то соответствующее ограничение двойственной задачи при оптимальном решении обращается в равенство.
Док-во:
Пусть Х и У (векторы) - оптимальные решения пары двойственных задач. Тогда (система)
Yi* (Bi - Aik Xk*)=0
Xk*(AikYi*-Ck)=0
Где Yi*, Xk* - координаты соответствующих оптимальных решений.
Пусть X и У - оптимальные решения. Тогда
Х=Х*, Y=Y*
AikXk* Bi (1) (i=1, .. m)
AikYi* Ck(2) (k=1, .. n)
Т(vektorY*)=Z(vektorX*)
Вi Yi* = CkXk* (i=1,.m, k=1, .n)
Возьмем первое ограничение и умножим его на Yi*, a второе на Xk*
Yi* AikXk* Bi Yi*
Xk*AikYi* Ck Xk*
Просуммируем первое ограничение по i:
Yi*AikXk* BiYi* (I=1,.m)
(2) по k:
Xk*AikYi* CkXk* (k=1,..n)
Правые части этих неравенств оказались равными (T=z), след-но
(I=1-m) (k=1-n) Yi*AikXi* (I=1-m) BiYi*
(k=1-n) (I=1-m) Xk*AikYi* (k=1-n) CkXk*
Левые части неравенств, с одной стороны, меньше чем Т (вектор У), а с другой больше, чем z (вектор х), след-но это может выполняться в случае равенства
Yi* Aik Xk* - Bi Yi* = 0
Yi* ( AikXk* - Bi ) = 0
След-но либо то 0, либо другое 0. Док-во достаточности состоит в том, что проводится рассуждение в обратную сторону.