шпаргалка

Havanakanutyun

[ Назад ]

¸³ë³ËáëáõÃÛáõÝ 10

¢21. ¸ÆêäºðêƲ

Դիցուք ξ = ξ(ω) պատահական մեծությունը որոշված է (Ω, F , P)

կամայական հավանակային տարածության վրա և ունի վերջավոր մաթեմա-

տիկական սպասում:

Սահմանում. ì»ñç³íáñ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙ áõÝ»óáÕ

ξ = ξ(ω) (¹ÇëÏñ»ï ϳ٠μ³ó³ñÓ³Ï ³ÝÁݹѳï) å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ

³Ý ¹Çëå»ñëdz' Dξ , ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)2 å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý

ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç), ³ÛëÇÝùÝ'

Dξ=M(ξ−Mξ)2 :

Համաձայն մաթեմատիկական սպասման հատկությունների կունենաք'

Dξ=M(ξ2−2ξMξ−(Mξ)2)=Mξ2−(Mξ)2 : (21.1)

Դիսպերսիայի սահմանումից և մաթեմատիկական սպասման հատկութ-

յուն 5 -ից ստացվում են դիսպերսիայի հետևյալ հատկությունները' (ցանկացած

c հաստատունի համար).

D(cξ)=c2Dξ, D(ξ+c)=Dξ: (21.2)

Մաթեմատիկական սպասման հետևյալ կարևոր հատկությունը թույլ է

տալիս ստանալ նոր ներկայացում դիսպերսիայի համար:

ա) Ենթադրենք 1 2 x ,x ,… թվերը ξ պատահական մեծության բոլոր

հնարավոր արժեքներն են, իսկ g(x)-ը' թվային ֆունկցիա: Այդ դեպքում

1

( ) ( ) ( ) n n

n

Mgξ g x P ξ x



=

=Σ = , (21.3)

եթե աջ մասի շարքը բացարձակ զուգամետ է:

բ) Եթե f(x)-ը ξ պատահական մեծության բաշխման խտությունն է, իսկ

g(x)-ը անընդհատ ֆունկցիա է, ապա

Mg(ξ) g(x)f (x)dx



−∞

= ∫ , (21.4)

եթե աջ մասի ինտեգրալը բացարձակ զուգամետ է:

Ապացույց: ա) Ենթադրենք 1 2 z ,z ,… թվերը g(ξ) պատահական

մեծության արժեքներն են: Համաձայն մաթեմատիկական սպասման սահ-

մանման'

56

1

( ) ( ( ) ) k k

k

Mgξ z P gξ z



=

=Σ = (21.5)

1 2 x ,x ,… բազմությունը տրոհենք միմյանց հետ չհատվող 1 2 E,E ,… խմբերի,

որտեղ { : ( ) }, 1 k n n k E = x gx =z k≥ : Այդ դեպքում

( ( ) ) ( )

n k

k n

x E

P gξ z Pξ x



= = Σ = :

(21.3)-ի աջ մասի շարքում (բացարձակ զուգամետ) կատարելով անհրա-

ժեշտ տեղափոխություններ' կստանանք'

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

n k

n n k n k k

n k x E k

g x Pξ x z Pξ x z P g ξ z

∞ ∞ ∞

= = ∈ =

Σ = =Σ Σ = =Σ = ,

որտեղից էլ կհետևի (21.3) հավասարությունը:

բ) Ապացուցենք (21.4)-ը g(x)= xn -ի համար, օգտվելով §19 խնդիր 4 -ի

արդյունքներից: Եթե n -ը կենտ է, ապա

( ) 1

1

1

( ) ( ) (n ) n ( ) ( ) ( ) :

g

n

Mg yf y dy y f y dy x f x dx g x f x dx

ny

ξ ξ

∞ ∞ ∞ ∞



−∞ −∞ −∞ −∞

=∫ =∫ = ∫ = ∫

Եթե n -ը զույգ է, ապա

( ) 1

1

0

1

( ) (n ) ( n )

n

Mg y f y f y dy

ny

ξ





=∫ + − =

( ) ( )

0 0 0 0

1 1

ny f ny dy n y f n y dy xnf(x)dx xnf(x)dx

n n

∞ ∞ ∞ −∞

= ∫ + ∫ − = ∫ − ∫ =

0

0

xnf(x)dx xnf(x)dx g(x)f (x)dx

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ +∫ = ∫ :

Օգտվելով (21.3) և (21.4) բանաձևերից, երբ g(x)=(x −Mξ)2 , կստանանք

նոր ներկայացում Dξ -ի համար:

ա) ξ դիսկրետ պատահական մեծության համար'

2

1

( ) ( ) n n

n

Dξ x Mξ P ξ x



=

=Σ − = (21.6)

2 2

1

( ) ( ) ( ) n n

n

Dξ x P ξ x Mξ



=

⎛ ⎞⎟ ⎜ = = − ⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ Σ :

բ) ξ բացարձակ անընդհատ պատահական մեծության համար'

Dξ (x Mξ)2f(x)dx



−∞

=∫ − (21.7)

57

Dξ x2f(x)dx (Mξ)2



−∞

⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − ⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ ∫ :

Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç ëϽμݳϳÝ

ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ù³Ã»Ù³-

ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ:

n, 0,1,2,

nv =Mξ n= …:

Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç Ï»ÝïñáÝ

³Ï³Ý ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)n å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ù³Ã»Ù³-

ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ'

( )n, 0,1,2,

n μ = ξ−Mξ n= … :

M|ξn|-ը կոչվում է n -րդ կարգի ëϽμÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï, իսկ

M|ξ−Mξ|n -ը' n -րդ կարգի Ï»ÝïñáÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï:

Պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումն առաջին կարգի

սկզբնական մոմենտն է, իսկ դիսպերսիան' երկրորդ կարգի կենտրոնական

մոմենտը:

Հաշվենք որոշ հայտնի բաշխումների դիսպերսիաները:

1. Դիցուք ξ պատահական մեծությունը բաշխված է բինոմական օրեն-

քով' ( ; 0, 1, 2, , ) k k(1 )n k

k n Pξ=k k= …n=P=C ⋅p −p − , 0≤ p ≤1, Mξ =np:

Այդ դեպքում'

( )2 2 2 2

0

(1 ) ( )

n

k k k

n

k

Dξ Mξ Mξ kCp p np

=

= − =Σ − − =

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

0 1

2

1

2

1 1

2

2

! !

(1 ) (1 )

! ! 1! !

!

( 1 1) (1 )

1 ! !

! !

( 1) (1 ) (1 )

1 ! ! 1 ! !

!

(1 )

2 ! !

n n

k n k k n k

k k

n

k n k

k

n n

k n k k n k

k k

n

k n k

k

n n

k p p np k p p np

k n k k n k

n

k p p np

k n k

n n

k p p p p np

k n k k n k

n

p p np np

k n k

n n

− −

= =



=

− −

= =



=

= − − = − − =

− − −

= − + − − =

− −

= − − + − − =

− − − −

= − + − =

− −

= −

Σ Σ

Σ

Σ Σ

Σ

( )

( )

( )(( ) ( ))

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

2

2

2 2 2

0

2 1 2 22 2 2

2 !

1 (1 )

2 ! 2 2 !

2 !

1 (1 )

! 2 !

1 1 1 :

n

k n k

k

n

l n l

l

n

n

p p p np np

k n k

n

n n p p p np np

l n l

nn p p p np np np np np np np p

− − − −

=



− −

=





− + − =

− − − −



= − − + − =

− −

= − ⋅ + − + − = − + − = −

Σ

Σ

58

2. Եթե ξ -ն ունի Պուասոնյան բաշխում' , 1,2, , 0,

!

k

k

e

P k

k

λ λ

λ



= = … >

Mξ = λ, ապա

( )

(( ) )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2 2 2

0 1

1

2

1

1 1

2

1 1

2

2 2

2

! 1!

1 1

1 !

1

1 ! 1 !

:

2 !

k k

k k

k

k

k k

k k

k

k

D k e e k

k k

e k

k

e k e

k k

e

k

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

ξ λ λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ λ λ

∞ ∞ −

− −

= =

∞ −



=

∞ − ∞ −

− −

= =

∞ −



=

= − = ⋅ ⋅ − =



= ⋅ ⋅ − + − =



= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

− −

= ⋅ ⋅ + − =



Σ Σ

Σ

Σ Σ

Σ

3. [a,b] հատվածում հավասարաչափ բաշխման համար'

2 1 2 1 2 2

( ),

3

b

a

M xdx a ab b

b a

ξ = = + +

− ∫

2 2

2 212 2 ( )

( ) ( )

3 2 12

a b b a

Dξ Mξ Mξ a ab b

= − = + + −⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎠⎟⎟⎟ = − :

2. Նորմալ օրենքի համար'

2

2

( )

2 22 1

( ) ( ) .

2

x a

Mξ a Dξ x a e σ dx

σ π

∞ −



−∞

− = = ∫ −

Կատերելով x a

z

σ



= ' կստանանք x=zσ+a, dx = σ dz : Հետևաբար.

2 2 2 2

2 22 2

0

2

( )

2 2

z z

M a ze dz zde

σ σ

ξ

π π

∞ ∞

− −

−∞

− = ∫ =− ∫ =

2 2 2 2

2 2 2

0

2 2

2 0 2 2 .

z z

ze e dz

σ σ π

σ

π π



− − ∞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ ∫ :

3. Բաշխման ցուցչային օրենքի համար'

2 2 2

0 0 0

2

0 2

M x ae ax dx x e ax xe ax dx xde ax

a

ξ

∞ ∞ ∞

− − − −

∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = =− − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫

2

0

2 2

0

xe ax e ax dx

a a



− −

∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − = ⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠ ∫

2 2

2 2 2

2 1 1

D M (M)

a a a

ξ= ξ − ξ = − = :

КАТЕГОРИИ:

Network | английский | архитектура эвм | астрономия | аудит | биология | вычислительная математика | география | Гражданское право | демография | дискретная математика | законодательство | история | квантовая физика | компиляторы | КСЕ - Концепция современного естествознания | культурология | линейная алгебра | литература | математическая статистика | математический анализ | Международный стандарт финансовой отчетности МСФО | менеджмент | метрология | механика | немецкий | неорганическая химия | ОБЖ | общая физика | операционные системы | оптимизация в сапр | органическая химия | педагогика | политология | правоведение | прочие дисциплины | психология (методы) | радиоэлектроника | религия | русский | сертификация | сопромат | социология | теория вероятностей | управление в технических системах | физкультура | философия | фотография | французский | школьная математика | экология | экономика | экономика (словарь) | язык Assembler | язык Basic, VB | язык Pascal | язык Си, Си++ |