Havanakanutyun
¸³ë³ËáëáõÃÛáõÝ 10
¢21. ¸ÆêäºðêƲ
Դիցուք ξ = ξ(ω) պատահական մեծությունը որոշված է (Ω, F , P)
կամայական հավանակային տարածության վրա և ունի վերջավոր մաթեմա-
տիկական սպասում:
Սահմանում. ì»ñç³íáñ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙ áõÝ»óáÕ
ξ = ξ(ω) (¹ÇëÏñ»ï ϳ٠μ³ó³ñÓ³Ï ³ÝÁݹѳï) å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ
³Ý ¹Çëå»ñëdz' Dξ , ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)2 å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý
ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç), ³ÛëÇÝùÝ'
Dξ=M(ξ−Mξ)2 :
Համաձայն մաթեմատիկական սպասման հատկությունների կունենաք'
Dξ=M(ξ2−2ξMξ−(Mξ)2)=Mξ2−(Mξ)2 : (21.1)
Դիսպերսիայի սահմանումից և մաթեմատիկական սպասման հատկութ-
յուն 5 -ից ստացվում են դիսպերսիայի հետևյալ հատկությունները' (ցանկացած
c հաստատունի համար).
D(cξ)=c2Dξ, D(ξ+c)=Dξ: (21.2)
Մաթեմատիկական սպասման հետևյալ կարևոր հատկությունը թույլ է
տալիս ստանալ նոր ներկայացում դիսպերսիայի համար:
ա) Ենթադրենք 1 2 x ,x ,… թվերը ξ պատահական մեծության բոլոր
հնարավոր արժեքներն են, իսկ g(x)-ը' թվային ֆունկցիա: Այդ դեպքում
1
( ) ( ) ( ) n n
n
Mgξ g x P ξ x
∞
=
=Σ = , (21.3)
եթե աջ մասի շարքը բացարձակ զուգամետ է:
բ) Եթե f(x)-ը ξ պատահական մեծության բաշխման խտությունն է, իսկ
g(x)-ը անընդհատ ֆունկցիա է, ապա
Mg(ξ) g(x)f (x)dx
∞
−∞
= ∫ , (21.4)
եթե աջ մասի ինտեգրալը բացարձակ զուգամետ է:
Ապացույց: ա) Ենթադրենք 1 2 z ,z ,… թվերը g(ξ) պատահական
մեծության արժեքներն են: Համաձայն մաթեմատիկական սպասման սահ-
մանման'
56
1
( ) ( ( ) ) k k
k
Mgξ z P gξ z
∞
=
=Σ = (21.5)
1 2 x ,x ,… բազմությունը տրոհենք միմյանց հետ չհատվող 1 2 E,E ,… խմբերի,
որտեղ { : ( ) }, 1 k n n k E = x gx =z k≥ : Այդ դեպքում
( ( ) ) ( )
n k
k n
x E
P gξ z Pξ x
∈
= = Σ = :
(21.3)-ի աջ մասի շարքում (բացարձակ զուգամետ) կատարելով անհրա-
ժեշտ տեղափոխություններ' կստանանք'
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
n k
n n k n k k
n k x E k
g x Pξ x z Pξ x z P g ξ z
∞ ∞ ∞
= = ∈ =
Σ = =Σ Σ = =Σ = ,
որտեղից էլ կհետևի (21.3) հավասարությունը:
բ) Ապացուցենք (21.4)-ը g(x)= xn -ի համար, օգտվելով §19 խնդիր 4 -ի
արդյունքներից: Եթե n -ը կենտ է, ապա
( ) 1
1
1
( ) ( ) (n ) n ( ) ( ) ( ) :
g
n
Mg yf y dy y f y dy x f x dx g x f x dx
ny
ξ ξ
∞ ∞ ∞ ∞
−
−∞ −∞ −∞ −∞
=∫ =∫ = ∫ = ∫
Եթե n -ը զույգ է, ապա
( ) 1
1
0
1
( ) (n ) ( n )
n
Mg y f y f y dy
ny
ξ
∞
−
=∫ + − =
( ) ( )
0 0 0 0
1 1
ny f ny dy n y f n y dy xnf(x)dx xnf(x)dx
n n
∞ ∞ ∞ −∞
= ∫ + ∫ − = ∫ − ∫ =
0
0
xnf(x)dx xnf(x)dx g(x)f (x)dx
∞ ∞
−∞ −∞
=∫ +∫ = ∫ :
Օգտվելով (21.3) և (21.4) բանաձևերից, երբ g(x)=(x −Mξ)2 , կստանանք
նոր ներկայացում Dξ -ի համար:
ա) ξ դիսկրետ պատահական մեծության համար'
2
1
( ) ( ) n n
n
Dξ x Mξ P ξ x
∞
=
=Σ − = (21.6)
2 2
1
( ) ( ) ( ) n n
n
Dξ x P ξ x Mξ
∞
=
⎛ ⎞⎟ ⎜ = = − ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠ Σ :
բ) ξ բացարձակ անընդհատ պատահական մեծության համար'
Dξ (x Mξ)2f(x)dx
∞
−∞
=∫ − (21.7)
57
Dξ x2f(x)dx (Mξ)2
∞
−∞
⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠ ∫ :
Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç ëϽμݳϳÝ
ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ù³Ã»Ù³-
ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ:
n, 0,1,2,
nv =Mξ n= …:
Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç Ï»ÝïñáÝ
³Ï³Ý ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)n å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ù³Ã»Ù³-
ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ'
( )n, 0,1,2,
n μ = ξ−Mξ n= … :
M|ξn|-ը կոչվում է n -րդ կարգի ëϽμÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï, իսկ
M|ξ−Mξ|n -ը' n -րդ կարգի Ï»ÝïñáÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï:
Պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումն առաջին կարգի
սկզբնական մոմենտն է, իսկ դիսպերսիան' երկրորդ կարգի կենտրոնական
մոմենտը:
Հաշվենք որոշ հայտնի բաշխումների դիսպերսիաները:
1. Դիցուք ξ պատահական մեծությունը բաշխված է բինոմական օրեն-
քով' ( ; 0, 1, 2, , ) k k(1 )n k
k n Pξ=k k= …n=P=C ⋅p −p − , 0≤ p ≤1, Mξ =np:
Այդ դեպքում'
( )2 2 2 2
0
(1 ) ( )
n
k k k
n
k
Dξ Mξ Mξ kCp p np
=
= − =Σ − − =
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
0 1
2
1
2
1 1
2
2
! !
(1 ) (1 )
! ! 1! !
!
( 1 1) (1 )
1 ! !
! !
( 1) (1 ) (1 )
1 ! ! 1 ! !
!
(1 )
2 ! !
n n
k n k k n k
k k
n
k n k
k
n n
k n k k n k
k k
n
k n k
k
n n
k p p np k p p np
k n k k n k
n
k p p np
k n k
n n
k p p p p np
k n k k n k
n
p p np np
k n k
n n
− −
= =
−
=
− −
= =
−
=
= − − = − − =
− − −
= − + − − =
− −
= − − + − − =
− − − −
= − + − =
− −
= −
Σ Σ
Σ
Σ Σ
Σ
( )
( )
( )(( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
0
2 1 2 22 2 2
2 !
1 (1 )
2 ! 2 2 !
2 !
1 (1 )
! 2 !
1 1 1 :
n
k n k
k
n
l n l
l
n
n
p p p np np
k n k
n
n n p p p np np
l n l
nn p p p np np np np np np np p
− − − −
=
−
− −
=
−
−
− + − =
− − − −
−
= − − + − =
− −
= − ⋅ + − + − = − + − = −
Σ
Σ
58
2. Եթե ξ -ն ունի Պուասոնյան բաշխում' , 1,2, , 0,
!
k
k
e
P k
k
λ λ
λ
−
= = … >
Mξ = λ, ապա
( )
(( ) )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 2 2
0 1
1
2
1
1 1
2
1 1
2
2 2
2
! 1!
1 1
1 !
1
1 ! 1 !
:
2 !
k k
k k
k
k
k k
k k
k
k
D k e e k
k k
e k
k
e k e
k k
e
k
λ λ
λ
λ λ
λ
λ λ
ξ λ λ λ
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ λ λ λ
∞ ∞ −
− −
= =
∞ −
−
=
∞ − ∞ −
− −
= =
∞ −
−
=
= − = ⋅ ⋅ − =
−
= ⋅ ⋅ − + − =
−
= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =
− −
= ⋅ ⋅ + − =
−
Σ Σ
Σ
Σ Σ
Σ
3. [a,b] հատվածում հավասարաչափ բաշխման համար'
2 1 2 1 2 2
( ),
3
b
a
M xdx a ab b
b a
ξ = = + +
− ∫
2 2
2 212 2 ( )
( ) ( )
3 2 12
a b b a
Dξ Mξ Mξ a ab b
= − = + + −⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎠⎟⎟⎟ = − :
2. Նորմալ օրենքի համար'
2
2
( )
2 22 1
( ) ( ) .
2
x a
Mξ a Dξ x a e σ dx
σ π
∞ −
−
−∞
− = = ∫ −
Կատերելով x a
z
σ
−
= ' կստանանք x=zσ+a, dx = σ dz : Հետևաբար.
2 2 2 2
2 22 2
0
2
( )
2 2
z z
M a ze dz zde
σ σ
ξ
π π
∞ ∞
− −
−∞
− = ∫ =− ∫ =
2 2 2 2
2 2 2
0
2 2
2 0 2 2 .
z z
ze e dz
σ σ π
σ
π π
∞
− − ∞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠ ∫ :
3. Բաշխման ցուցչային օրենքի համար'
2 2 2
0 0 0
2
0 2
M x ae ax dx x e ax xe ax dx xde ax
a
ξ
∞ ∞ ∞
− − − −
∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = =− − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫
2
0
2 2
0
xe ax e ax dx
a a
∞
− −
∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − = ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜⎝ ⎠ ∫
2 2
2 2 2
2 1 1
D M (M)
a a a
ξ= ξ − ξ = − = :