Алгебра высказываний: высказывание, основные операции, таблицы истинности.
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач.
Высказыванием называется суждение, которому можно приписать истину или ложь. Например, суждение "Снег белый" есть истинное высказывание; суждение "Число 6 делится на 4" -- ложное высказывание; суждение "Который час?" не является высказыванием.
Из высказываний можно построить новые высказывания с помощью логических операций . Приведем определения этих операций.
Отрицанием высказывания называется такое высказывание, обозначаемое (читается: "не "), которое является истинным, если ложно, и ложным, если истинно. Конъюнкцией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: " и ''), которое истинно, если истинны оба высказывания и , и ложно в остальных случаях.
Дизъюнкцией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: " или "), которое ложно, если ложны оба эти высказывания и , и истинно в остальных случаях
Импликацией высказываний и называется высказывание, обозначаемое (читается: "из следует " или "если , то ''), которое ложно, если истинно, а ложно, и истинно в остальных случаях
Всем теоремам в математике, как высказываниям, можно придать вид импликации двух высказываний: ). Высказывание называют условием теоремы , а высказывание -- заключением теоремы . Или высказывание называют необходимым условием для высказывания , а высказывание -- достаточным условием для высказывания в теореме ).
таблица истинности:
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Коньюнкция A / B 0 0 0 1
Дизъюнкция A V B 0 1 1 1
Импликация A -› B 1 1 0 1
Эквиваленция A ~ B 1 0 0 1
Законы алгебры высказываний:
Логическое умножение: Логическое сложение:
A•B = B•A A + B = B + A
(AB)C = A(BC) (A + B)+ C = A + (B + C)
A•A = A A + A = A
A•1 = A A + 1 = 1
A•0 = 0 A + 0 = A
A(B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)A + BC = (A + B)(A + C)