1 вопрос, Определение матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ
Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в
виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно
заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А
или В.
В общем виде матрицу размером m×n записывают так
.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы
удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй
– номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется
квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.
В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок
равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется
прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.
Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.
Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или
строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается
(0), или просто 0. Например,
.
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого
верхнего в правый нижний угол.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали,
равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например,
или .
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице,
называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная
матрица 3-го порядка имеет вид .
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют
одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij =
bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 =
b22.
Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов.
Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой
каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно,
каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если ,
то .
Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B
транспонированием.
Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов
матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.
Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .
Например. Найти матрицу транспонированную данной.
1.
2.
Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и
одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того,
чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы
матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B
называется матрица C, которая определяется по правилу, например,
или
Примеры. Найти сумму матриц:
1. .
2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .
Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам:
коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).
Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k
нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом,
произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется
по правилу или .
Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:
1.
2.
3. .
Примеры.
1. .
2. Найти 2A-B, если , .
.
3. Найти C=–3A+4B.
Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.
Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону.
Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть
согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки
первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B
называется новая матрицаC=AB, элементы которой составляются следующим
образом:
.
Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C)
элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять
1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на
соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие
элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения
строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.
В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B
= (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой
вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате
произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-
го столбца матрицы B и их сложения.
Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные
матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же
порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя,
т.е. возвести в квадрат.
Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец,
причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим
матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,
.
Примеры.
1. Пусть
Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.
2. Найти произведение матриц.
.
3. .
4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота
второй – 3-м.
5. Пусть
Найти АВ и ВА.
6.
Найти АВ и ВА.
, B·A – не имеет смысла.
Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря,
не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении
матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.
Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и
дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.
Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную
матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.
Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х
отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е.
произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.
Например, если , то
.