Обобщённый МНК при нарушении гомоскедастичности.
При нарушении гомоскедастичности (гетероскедастичности - непостоянности дисперсии остатков, т.е. σ²ε=σ²k, т.е. σ²ε пропорциональна какой-то величине k) и наличии а/к в остатках рекомендуется заменять традиционный МНК на обобщенный МНК.
ОМНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещённости, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.
ОМНК предполагает, что выдвигается гипотеза относительно коэффициента пропорциональности k.
Предположим, что выдвинуты гипотезы, что kj=xj
В этом случае модель регрессии имеет вид: y=a+bx+εx – уравнение регрессии с гетероскедастичными остатками.
Чтобы от него перейти к уравнению вида: y=a+bx+ε, нужно его поделить на х: y/x=a/x+b+ ε – данное уравнение представляет собой модель с гомоскедастичными остатками. Обозначив в ней у/х через У и 1/х через Х можно применять традиционный МНК: У=аХ+b+ ε – а и b поменялись местами. По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные х и у взяты с весами 1/х.
В рассматриваемом уравнениипо сравнению с : y=a+bx+ε параметры а и b поменялись местами.
Предположим, что рассматривается зависимость сбережений от (у) от дохода(х) и уравнение регрессии составило: ŷ=-1.081+0.1178х
Применяя ОМНК к данной модели в предположении, что ошибки пропорциональны доходу, было получено ур-е для преобразованных данных: у/х=0.1026-0.8538*1/х
Коэффициент регрессии первого ур-ия 0.1178 сравнивают со свободным членом второго ур-ня 0.1026. Это и есть оценки параметра коэффициента регрессии для рассматриваемой зависимости.
Далее возвращаемся к модели вида: y=a+bx+ε и новое уравнение примет вид: у*=-0.854+1.1026х,*-означает,что у-ки нереальные.
Аналогичный подход возможен и для множественной регрессии.