Двухшаговый метод наименьших квадратов: его суть и сфера применения.
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов.
Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидент. ур-ия теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части ур-ия. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидент. ур-ия.
Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной ŷi = δi1х1 + δi2х2 + ... + δijхj и на втором шаге применительно к структурному сверхидент. уравнению при определении структурных коэф-тов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидент. структурная модель может быть двух типов:
- все ур-ия системы сверхидент.;
- система содержит наряду со сверхидент. точно идент. ур-ия.
Если все ур-ия системы сверхидент., то для оценки структурных коэф-тов каждого ур-ия используется ДМНК. Если в системе есть точно идент. ур-ия, то структурные коэф-ты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Применим ДМНК к простейшей сверхидент. модели:
{y1= b12 (y2 + х1 ) + ε1,
y2= b21y1 + a22х2 + ε2.
Данная модель может быть получена из предыдущей идент. модели:
{y1= b12y2 + a11х1 + ε1,
y2= b21y1 + a22х2 + ε2.
если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12 = a11.
В результате 1ое уравнение стало сверхидент.: H = 1 (у1), D = 1 (х2) и D + 1 > H. Второе ур-ие не изменилось и является точно идент.: H = 2 и D = 1, D + 1 = H.
На первом шаге найдем приведенную форму модели:
{y1= δ11x1 + δ12х2 + u1,
y2= δ21x1 + δ22х2 + u2.
Предполагая использование тех же исх. данных, что и в примере (см. 51 вопрос), получим систему приведенных ур-ий:
{y1= 0,852x1 + 0,373х2 + u1,
y2= -0,0728x1 – 0,00557х2 + u2.
На основе 2го ур-ия данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у2, т. е. ŷ2. С этой целью в уравнение y2= -0,0728x1 – 0,00557х2 + u2 подставим значения х1 и х2.
После того как найдены оценки эндогенной переменной у2,т.е. ŷ2, обратимся к сверхидент. структурному уравнению y1= b12 (y2 + х1 ) .Заменив факт. значения у2 их оценками ŷ2, найдем значения новой переменной: ŷ2 + x1 = z.
Далее применим МНК к уравнению: y1= b12 z, т.е. Σ y1 z = b12 Σ z².
Откуда: b12 = Σ y1 z / Σ z² = 1,243.
Таким образом, сверхидентифицируемое структурное уравнение составит:
y1= 1,243(y2 + х1 ) + ε1.
Поскольку 2ое уравнение нашей системы не изменилось, его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же: у2 = -0,085 у1 + 0,026 х2+ ε2.
В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:
{y1= 1,243(y2 + х1 ) + ε1,
у2 = -0,085 у1 + 0,026 х2+ ε2.
ДМНК квадратов является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.