Нелинейная регрессия и корреляция.
Используется нелинейная регр., приводимая к линейному виду.
y = a + bx + cx2 + ε. x2=z → y = a + bx + cz + ε
y = a + b/x + ε. 1/x = z → y = a + bz + ε
y = 1/(a + bx + ε). 1/y=Y → Y = a + bx+ ε
y = axb ε. lg y = lg a + b lg x, lg y = Y, lg a =A, lg x = X → Y= A + bX
Широко применяется степенная ф-я y=axb ε, b – коэф-т эластичности: ŷ = axb, y’=abxb-1. Э = y’(x/y), Э = abxb-1 (x/axb) = b.
Для степенной ф-и Э=const и не зависит от значения х.
2 класса нелин. регр.:
- нелин относ-но вкл. в анализ объясн. переменных, но лин. по оцен. параметрам:
полиномы разл. степеней y = a + bx + cx2 + ε,
равностор. гипербола y = a + b/x + ε;
- нелин. по оцен. параметрам:
степенная y = axb ε
показательная y = abx ε
экспоненциальная y = aea+bx ε
В нелинейной регр. для оценки параметров применяется МНК по преобраз. переменным → смещенность оценок.
Показателем тесноты связи при нелинейной регрессии явл. индекс корреляции:
, 0≤R≤1, R2 – показатель детерминации.
Для линейной зависимости индекс и лин. коэф-т корреляции совпадают: |ryx| = Ryx.
В равностор. гиперболе ŷ = a +b/x индекс корреляции будет = коэф-ту корреляции между у и преобраз. переменной z: Ryx=ryz, где z=1/х или z=ln x. В степен. ф-и ≠, но рез-ты довольно близки → при практич. исследованиях вместо R рассчитывается множеств. коэф-т корреляции по преобразов. данным. Однако, когда преобразования в лин. форму связ. с завис. переменной, лин. r дает ≈ оценку. Например, для степенной ф-и м.б. найден rlnylnx.
Для y = 1/(a+bx) →1/ŷx = a + bx
Оценка значимости ур-ия регр. в целом дается с помощью F-критерия:
, m – df для SSR.
. Явл. относит. показателем силы связи (%).