Необходимое и достаточные условия возрастания/убывания функции/существования экстремума.
Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале [а, b], если для любых х1 и х2 из этого интервала, для которых х1 <х2, верно неравенство f(x1)<f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале [а, b], если для любых х1 и х2 из этого интервала, для которых х1<х2,верно неравенство f (x1) > f (x2).
Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.
Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.
Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f(х)<0, то функция убывает на этом интервале.
Точки экстремума – точки минимума и максимума.
Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)>f(x) .
Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)< f(x) .
Необходимое условие существования экстремума:
Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточное условие существования экстремума:
Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x0 , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак, то x = x0 — точка:
а) f(x0) — максимум, если f'(x)>0, при x<x0 и f'(x)<0, при x>x0.
б) f(x0) — минимум, если f'(x)<0, при x<x0 и f(x0)>0, при x<x0.