Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Числовая последовательность(х1,x2,x3…xn...) – упорядоченное множ-во чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. xn – общий член последовательности.
Монотонно возрастающая последовательность – каждый её член больше предыдущего, т.е для любого n∈N верно xn+1>xn.
Монотонно убывающая последовательность – каждый её член меньше предыдущего, т.е для любого n∈N верно xn+1<xn .
Ограниченная последовательность – для любого n∈N существуют m и M, что выполняется нер-во
m≤ xn≤ M.
Предел последовательности(limxn=a) – число а, если для любого положительного числа ε>0 существует число N=N(ε), что: |xn-a|<ε=a- ε<xn<a+ ε.
] a- ε; a+ ε[ - окрестность точки а.
Сходящаяся последовательность – пос-ть с одним пределом.
Расходящаяся последовательность – предела не имеет.
Условие: Сходящаяся последовательность должна быть ограниченной.
Пределы:
lim┬(n→∞)〖1/n〗=0
lim┬(n→0)〖1/n〗=∞
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.