Необходимые и достаточные условия выпуклости/вогнутости функции/точки перегиба.
Если график функции y=f(x) имеет касательную в точке x = x0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.
График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале [a,b], если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a, b ), тогда:
если f''(x)>0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b);
если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).
Точка (x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.
Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).
Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.