Общая схема построения графиков функций с помощью производной.
Найти область определения функции.
функция может быть определенна на промежутках: (a;b), [a;b], (−∞;+∞), (−∞;b), (a;+∞).
Исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность.
график четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
на оси ОХ точка (x0; y0=f(x0)=0)
на оси ОY точка (х0; y0=f(0))
Выяснить с помощью производной монотонность функции, промежутки возрастания и убывания.
Найти интервалы монотонности функции f(x):
находят производную f(x)
решают неравенство f(x)>0.
На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f(x)<0, функция f(x) убывает.
Используя производную, найти точки экстремума, значение функции в этих точках.
С помощью второй производной найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба.
Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости.
Вычислить значение функции в точках перегиба.
Найдя f''(x) , мы решаем неравенство f''(x)>0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз.
Решая обратное неравенство f''(x)<0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба.
По найденным точкам построить график функции.