Непрерывность функции: определения, свойства. Разрывы.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
1. Она определена в точке х0
2. Существует конечный предел: lim┬(X→x_0 )〖f(x)〗
3. Этот предел равен значению функции в точке х0.
Функция f(x называется непрерывной на отрезке [x1;x2] , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его концах выполняются равенства:
lim┬(x→x_1+0)〖f(x)=f(x_1)〗 и lim┬(x→x_2-0)〖f(x)=f(x_2)〗
Точки разрыва функции f(x) – точки, где функция f(x) не является непрерывной.
Свойства непрерывности функции:
Функция, непрерывная в точке a, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция f непрерывна в точке a и f(a) > 0 (или f(a) < 0), то f(x) > 0 (или f(x) < 0) для всех x, достаточно близких к a.
Если функции у и g непрерывны в точке a, то функции f + g и f × g тоже непрерывны в точке а.
Если функции f и g непрерывны в точке а и при этом g(a)≠0. то функция f/g тоже непрерывна в точке a.
Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке b = f(a), то их композиция h = g о f непрерывна в точке a
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.