Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей с доказательством.
События А, Б, В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий. Примером зависимых событий являются события, происходящие при отборе единиц из совокупности по схеме невозвращенного шара, когда от появления годного или бракованного изделия при первом испытании зависит вероятность появления годного изделия при втором испытании.
События называются независимыми, если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условной вероятностью (РA (В)-усл вер-ть соб В относительно А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. пример условной вероятности Исходя из классического определения вероятности, формулу РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р (А) > 0 можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения. Условная вер-ть события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).
Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA (В)
Доказательство
З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р (ВА) = Р (В) Рв (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р (В) Рв (А)
Сравнивая формулы Р (АВ) = Р (А) РA (В) и Р(АВ) = Р (В) Рв (А), заключаем о справедливости равенства
Р (А) Ра (В) = Р (В) Рв (А)
С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
где
явл вероятностью события An, вычисленной в предположении, что события А1,А2,..., Аn — 1 наступили. В частности, для трех событий Р (AВС) = Р (А) РA (В) РAB (С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считатьпервым, вторым и т. д.
Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.
Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р (А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность РA (В) = 7 / 9.
По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) РA (В) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) = 7 / 10, РB (А) = 3 / 9, Р (В) РB (А) = 7 / 30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).