3Интегрирование рациональных дробей.


Пусть в разложении многочлена знаменателя на множители правильной рациональной дроби содержатся только линейные неповторяющиеся множители.


Дифуры 1-го порядка

y'=f(x,y) или x'=g(x,y) где g(xy)=1/f(xy) учитывая что y'=dy/dx и x'=dx/dy то
P(xy)dx+Q(xy)dx=0 P(xy)иQ(xy)известны
tga=f(xy) поле направлений!


Дифуры1-го п-ка с разделяющимися переменными! Ортогональные траектории

y'=f(x)g(y) или X(x)Y(y)dx+X.(x)Y.(y)dy=0 разделим на g(y) и умнож на dx dy/g(y)=f(x)dx $dy/g(y)=$f(x)dx анологично разделив на X.(x)Y(y)
и проинт получим $(X(x)/X.(x))dx+$(Y.(y)Y(y))dy=C
приводимые к 1-му с разд
y'=f(ax+by+c) b<>0 замена u=ax+by+c


Однородные д-ры 1-го порядка!

P(xy)dx+Q(xy)dy=0 можно привести к виду y'=f(x/y)
и при помощи замены y=xu где u-нов не изв
переменная приводится к уравн с разд переменными!
Можно использовать x=yu
привод-е к однородным
y'=f(a.x+b.y+c./a..x+b..y+c..)


Лин диф-ры1-го пор-ка Ур-е Бернули

y'+P(x)y=Q(x)-линейное если Q(x)=0 то y'+P(x)y=0
-однородное линейное В эом случае переменные разделяются и реш есть-
y=C*(e в степени -$P(x)dx)
Для реш-я не однор-го метод вариации произвольной постоянной т.е. находим y=C*(e в степени -$P(x)dx) потом С как ф-я от x-
y=C(x)*(e в степени -$P(x)dx)
Ур-е Бернули
y'+P(x)y=Q(x)*(y в степ a) a<>0 и 1
приво-ся к лин подстановкой z=y в степ 1-a
или y=uv или метод вариации произвольной постоянной


У-я полных диф-лов! Интегр тмножитель

http://www.shpora.net/index.cgi?act=reg


Сиcтема 3-х лин. ур-ий.


Система вида:

а1х+в1у+с1z= d1

а2х+в2у+с2z= d2

а3х+в3у+с3z= d3, где x, y, z ? переменные, а а1, в1, с1 ? коэфициенты действительного числа, d1, d2,d3 ? свободные члены.


Декартово произведением 2-х множеств.


А={1,2,3}

B={a,b}

Составим множество С таким образом что получим множество упорядоченных пар первая компонента



которой из множества А вторая из множества В.

С={(1;a)(2;a)(3;a)(1;b)(2;b)(3;b)}

Говорят что множество С ?декартово произведение множества А на множество В.

Декартовым произведением множества А на множество В назыв множество упорядоченных пар составленых



таким образом что 1 компонента из множества А, а 2 из множества В.

Характеристическое св-во элементов декартового произведения:

А*B={(x;y):x прин. А и y прин. В}


Декартово умножение множества на себя.


Пусть дано множество:

А={a,b,c}

Составим С состоящее из всех упорядоченных пар составленых из элементов множества А.

С={(a;a;)(b;b)(c;c)(a;b)(b;a)(b;c)(c;b)(a;c)(c;a)}

Множество С ? это декартово произведение множества А на себя.

Декартовым произведением множества А на себя называется множество упорядоченых пар составленных



из элементов данного множества.


Связь операции вычитания с объединением и пересечением.


1) А(В пер.С) =(АВ) об. (АС).

2) А(В об. С) =(АВ) пер.(АС).


Разность множеств.


Пример:

А={1,2,3,4,5}

В={5,6,7,8}

Cоставим множество С={1,2,3,4}

Видим что множество С состоит из всех элементов принадлежащих А и не принадлежащих В.

Разность множеств А и В называется множество состоящее из всех элементов множества А не



принадлежащих множеству В.

- знак вычитания.

Характеристич. св-во:

АВ = {x: x прин. А и х не прин. В}

Cв ?ва:

Не коммутативна, не ассоциативна, AA= пустое, А пустое = А, АВ(если В подмножество А) =



дополнение к В до А.


Дополнение к подмножеству.


Даны 2 множества:

А={1,2,3,4,а}

B={1,а} (В принад. А)

Составим С={2,3,4}

Видим что множество С состоит из всех элементов множества А не входящих в множество В, то есть



дополняет В до А.

Дополнением к подмножеству данного множества назыв. множество состоящее принадлежащих множеству А



и не принадлежащих множеству В.

Характерестич. св-во элементов дополнения:

В(штрих А) = {x: x прин. А и х не прин. В}

и ? соэз одновременного выполнения условий.

Св-во не рассматриваем.


Операция объединения.


Даны 2 множества:

А={a,b,c,d,2}

B={1,2,3,4}

Составим множество С={a,b,c,d,1,2,3,4}

Видим что множество С состоит из всех элементов множества А и всех элементов множества В, говорят



что С объединение множеств А и В.

Объединением 2-х или нескольких множеств называется множество состоящее из всех элементов каждого



из данных множеств.

Характер. св-во элементов объединения:

А объед. В = {x: x прин. А или В}

или - союз объединения.

Св-ва:

Коммутативна, ассоциативна; А объед. А=А; А объед.В=А( если В подмножество А)

А объед. с пустым= А.

Связь операций пересечения и объединения.

1) Дистрибутивный закон пересечения относительно объединения.

А пер.(В об.С) = (А пер. В) об. (А пер.С).

2)Дистрибутивный закон объединения относительно пересечения.

А об. (В пер. С) = (А об. В) пер. (А об. С).


Пересечение


Даны 2 множства:

А={a,b,c,d,1}

В={a,3,4,5,1}



Составим C={а,1}

Видим что множество С сотоит из всех общих элементов множеств А и В. Говорят что С ? пересечение



множеств А и В.

Пересечением 2-х или нескольких множеств называется множество состоящее из всех общих элементов



данных множеств.

Операция нахождения пересечения также называется пересечением.

Характерестическое св-во операции пересечения: А перес. В ={x: x прин. А и В}

и ? союз пересечения.

Св-ва: Операция коммутативна,ассоциативна.

А перес. А=А; А перес. В=В(если В подмножество А); А перес. с пустым=пустое множ.


Отношения между множествами.


Подмножества.

А={1,2,а,}

B={1,а}

Видим что кажд. элемент множества В принадлежит А, В подмножество А.

Множество В является подмножеством множества А если каждый элемент множества В является элементом



множества А.

Подмножества бывают: собственные и несобственные.

К несобственным подмножествам данного множества относятся само множество и пустое множество.

Н: Найти все подмножества множества А.

А={m,n,p}

{m};{n};{p};{mn};{mp};{pn}- собственное подмножество.

{m,n,p} и пустое множество ? не собственные подмножества.

Операции над множествами.


Способы задания множеств.


Множество назыв. заданным если о любом объекте(элементе) можно сказать принадлежит он этому



множеству или не принадлежит.

1) Перечисление всех его элементов.

Н: А={2,3,4}

2)Указание характерестических свойств элементов множеств.

Характерестическим свойством элементов множества назыв. такое св-во которым обладает каждый



элемент данного множества и не обладает никакой элемент другого множества.

Множества назыв. равным если они сотоят из одних и тех же элементов.

Порядок записи элементов не существенный.

А={1,2,3,а}

B={3,1,2,а}

А=В


Конечные и бесконечные множества.


Множество называется конечным если все его элементы можно пересчитать.

Множество бесконечно если его элементы нельзя пересчитать.

К бесконечным относятся:

N ? множество натуральных чисел.

N= {1, 2, 3?..}

Z ? множество целых чисел.

Z = N +{0} + противоположные N.

Q ? множество рациональных чисел.

Q = Z + все дробные.

R - действителные числа.

R= Q + все иррациональные.


Отношения между элементами и множествами.


Отношения между элементами и множествами выражаются двумя способами.

1) Не принадлежит и принадлежит.




Множества.


Множество ? это неопределяемое математичсекое понятие( как в геометрии точка прямая и т.д.)

Математический смысл понятия множества отличается от бытового представления о множестве. В быту



множество это много, в математике же можно рассматривать множества состоящиее из одного элемента



или не соодержащие элементов вообще.

Множество обознач. большими латинскими буквами.



Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым.

Объекты любой природы входящие в состав множетсва называются элементами множетсва и обозначаются



маленькими латинскими буквами.




Транспонирование матриц.


Если в матрице А поменять местами строчки со столбцами то получиться матрица транспонированная



данной.


Умножение матриц на число.


Матрицу любого размера можно умножить на любое дейсвительное число.

Произведением матрицы на число называется матрица каждый элемент которой равен произведению



элемента данной матрицы на данное число.




Матрица


называется квадратной если количество столбцов равно количеству строк.

Матрица называется прямоугольной если количество строк не равно количеству столбцов.

Матрица назыв. вектор-строкой если у нее одна строка.


Определение матриц.


Прямоугольная таблица размера m*n, где m- количество строк, а n ? столбцов называется матрицей



размера m*n.


Определение минора элемента определителя 3 порядка.


Минором элемента aij называется определитель полученный вычеркиванием i и j столбца в данном



определителе.

Обозначение aij ? элемент данного определителя.

Mij ? минор элемента aij.


Определение определителя ?n?порядка.



Теорема крамера для системы 3-х линейных уравнений:


Для того чтобы система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными имела единственое решение



необходимо и достаточно чтобы ее главный определитель не равнялся нулю тогда решения можно найти



по формуле.

х=дельта х/дельта, у= дельта у/дельта, z= дельта z/дельта.

Если главный определитель = 0, то система имеет бесконечно много решений либо не имеет решений.


Определение определителя ситемы 3-х линейных уравнений.


Дана система:

а1х+в1у+с1z=d1

а2х+в2у+с2z=d2

а3х+в3у+с3z=d3

Определитель этой системы:

дельта= а1 в1 с1

а2 в2 с2

а3 в3 с3

дельтаХ=d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

дельтаУ=a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

дельтаZ= a1 b1 d1

a1 b1 d1

a1 b1 d1


Свойства определителся 3 порядка.


1)Если в определителе 3 порядка строки со столбцами поменять местами то значение определителя не



измениться.

2)Если в определителе 3 порядка есть 2 одинаковые строки или столбца то значение определителя



равно нулю.

3)Если каждый элемент какой либо строки или столбца имеет один и тот же множитель то его можно



вынести за зна определителя.

4)Если в поределителе к какому либо элементу строки или столбца прибавить элемнты другой строки



умноженые на одно и тоже число то значение определителя не измениться.




Определитель 3 порядка состоящим из 9 чисел называется число определяемое следующим образом:


а1 в1 с1

а2 в2 с2 = а1*в2 с3 - в2*а2 с2 + с1*а2 в2

а3 в3 с3 в3 с3 а3 с3 а3 в3.

Такая запись определителя называется разложением определителся по элементам первой строки.

а1, в2, с3 ? числа главной диагонали.

с1, в2, а3 ? числа побочной диагонали.


Теорема крамера для системы 2-х линейных уравнений:


Для того чтобы система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными имела единственое решение



необходимо и достаточно чтобы ее главный определител не равнялся нулютогда решение находиться по



форумулам:

Х=дельтаХ/дельта, У=дельтаУ/дельта.

Для того чтобы система имела бесконечно много решений необходимо и достаточно чтобы все ее



определители равнялись нулю.

Если главный определитель системы равен нулю а один из определителей переменных не равен нулю то



система решений не имеет.


Определение определителей системы 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными.


Дана система:

а1х+в1у=с1

а2х+в2у=с2

Выставим ее определитель:

1)дельта = а1 в1

а2 в2

2)дельтаХ= с1 в1

с2 в2

3)дельтаУ=а1 с1

а2 с2


Свойства:


1)Если в определителе 2 порядка поменять местами строчки со столбцами то значение определителя не



изменится.

2)Если в определителе второго порядка поменять местами строчки(или столбцы) то значение



измениться на противоположное.

3)Если в определителе 2 порядка две одинаковые строки то значение определителся равно нулю.

4)Если в определителе второго порядка каждый элемент какой либо строки(или столбца) имеет



одинаковый множитель то его можно вынести за знак определителя.

5)Если в определителе второго порядка к эквивалентам какой либо строки(или столбца)

прибавить элементы другой строки(или столбца) умноженые на одно и тоже число то значение



определителся не измениться.


Определение определителя 2 порядка.


Определителем 2 порядка составленым из четных чисел а1, в1, а2, в2 ? назыв. число определяемое



следующим образом.

а1 в1

а2 в2 = а1в2 ? в1а2 , где а1в2 ? числа главной диагонали в1а2 ? побочной диагонали.


Система ?n? линейного уравнения с n переменной.


Система вида:

a11x1+a12x2+a13x3?.a1nxn=d1

a21x1+a22x2+a23x3?.a2nxn=d2

an1x1+an2x2+an3x3?.annxn=d3, где d1 ? коэфициент действительного числа а xi- переменная.




Определение линейного уравнения с ?n? переменными.


Уравнение вида a1x1+a2x2+a3x3+anxn=d, где ai-коэфициент действит числа, xi ? переменная, d-



свободный член, i= 1,??n.


Ситема 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными.


Система вида:

а1х+в1у+с1z= d1

а2х+в2у+с2z= d2



а3х+в3у+с3z= d3, где x, y, z ? переменные, а а1, в1, с1 ? коэфициенты действительного числа, d1,



d2,d3 ? свободные члены.


Решением линейного уравнения с 3-мя переменными


называется упорядоченная тройка чисел образующая уравнение в верное числовое равенство.


Уравнением с 3-мя переменными назыв:


уравнение вида ах+ву+сz=е, где а,в,с,е ? действительные числа а, х,у,z ? переменные.


Методы решения системы 2- линейных уравнений:


Метод подстановки и метод сложения (метод гаусса).


Количество решений:


Единственное решение, нет решений, бесконечно много решений.


Решить систему 2-х:


найти все ее решения.


Решением 2-х линейных уравнений называется упорядоченная пара чисел х и у обращающая каждое




уравнение в верное числовое равенство.


Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными: система вида


а1х+в1у=с1

а2х+в2у=с2, где а1, а2, в1, в2, с1, с2 ? действительные числа а , х, у ? переменные.


Количество решений уравнения с 2-мя переменными: любое линейное уравнение с 2-мя переменными




имеет бесконечно много решений и все они находятся на одной прямой в декартовой системе



координат.


Решить линейное уравнение с 2-мя переменными это значит найти все его решения.



Решением линейного уравнения с 2-мя переменными называется упорядоченная пара чисел обращающая




уравнение в верное числовое равенство.


Определение линейного уравнения с 2-мя переменными.


Уравнение вида ах + ву = с, где а в с действительные числа, а (х,у) переменные называется



линейным уравнением с 2-мя переменными.


Количество решений линейного уравнения с 1 переменной:


Единственное решение, не имеет решений, много решений.


Решением линейного уравнения с 2 переменными.


Решением линейного уравнения(корнем) называется значение переменной х при котором уравнение



обращается в верное числовое равенство.


Решить линейное уравнение.


Найти все его решения.


Линейное уравнение с одной переменной.


Уравнение вида ax=b, где a, b действительные числа а х ? переменная называется линейным



уравнением с одной переменной.


Доказать необходимое условие экстремума


Если в точке N(x0,y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f?^^x(x0,y0)=0, f?^^y(x0,y0)=0


Полная производная


Если z=f(x,y) дифференцируема в точке М(x,y) э D функция и x=x(t) и y=y(t) ? дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t)=f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

dz/dt = дz/дx*dx/dt+дz/дy*dy/dt




Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных


Если функция z=f(x,y) имеет частные производные z?^^x и z?^^y в точке М(x,y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой

dz=d^^xz+ d^^yz




Необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных


Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М(x,y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные дx/дz и дz/дх=А, дz/ду=В




Непрерывность функции нескольких переменных


Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке, если она

а) определена в этой точке и ее окрестностях

б) имеет предел lim (M->M0) f(M)

в) Этот предел равен значению функции z в точке M0




Предел функции нескольких переменных


Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M0(x0,y0), кроме, может быть самой этой точки. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при x->x0 y->y0 если для любого положит ю существует положит б, такое, что для всех х!=х0 и у!=у0 и удовлетворяющих неравенству под корнем (х-х0)^2+(y-y0)^2 < б выполняется неравенство F(x,y)-A < ю




Дать определение функции нескольких переменных


Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x,y). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x,y,) э D сопоставляет одно и только одно число z э R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z=f(x,y). При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а z - зависимой переменной (функцией)




Действия над комплексными числами в алгебраической форме


Комплексным числом z называется выражение вида z=x+iy, где х и у ? действительные числа, а i ? мнимая единица

Сумма: z1+z2=(x1=x2)+i(y1=y2)

Вычитание: z=z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2)

Произведение: z=z1z2=(x1x2=y1y2)+i(x1x2=y1y2)




Асимптоты графика функции. Правило нахождения вертикальных и невертикальных асимптот


Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Могут быть вертикальными, наклонными, и прямыми




Теорема о достаточных условиях наличия точек перегиба графика функции


Если вторая производная f??(x) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой x0 есть точка перегиба




Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Теорема о признаке выпуклости


График дифференцируемой функции у=f(x) называется выпуклым вниз(вверх) на интервале (а,b), если он расположен ниже(выше) любой ее касательной на этом интервале.

Точка перегиба ? точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной выпуклости.




Достаточное условие экстренума


Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой б-окрестности критической доски х0 и при переходе через нее (слева направо) производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума, с минуса на плюс - точка минимума




Экстренум и Необходимое условие


Точка х0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая б-окрестность точки x0, что для всех x!=x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0)

Необходимое условие

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстренум в точке x0, то ее производная в этой точке равна нудю. f'(x0)=0




Необходимое и достаточно условие возрастание убывания функции


Если дифферецируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то f'(x)>=0 (f'(x)<=0) для всех x э (a,b)



Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и f'x>0 (f'(x)<=0) ля всех x э (a,b), то эта фцнкция возрастает (убывает) на интервале (a,b)




Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0


Пусть функции f(x) и ф(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точки: f(x0)=ф(x0)=0. Пусть ф'(x)!=0 в окрестности точки х0. Если существет предел lim (x->x0) f'(x)/ф(x)=l, то lim (x->x0) f'(x) / ф(х) = lim (x->x0) f'(x) / ф'(x) =l



Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида **/**

Пусть функции f(x) и ф(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме, может быть самой точки), в этой окрестности lim (x->x0) f(x) = lim (x-> x0) ф(x)=**, ф'(x)!=0. Если существует предел lim (x->x0) f'(x)/ф(x), то lim (x->x0) f'(x) / ф(х) = lim (x->x0) f'(x).




Формула Лагранжа. Геометрический смысл формулы Лагранжа


Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то есть хотя бы одна точка с э (a,b), что выполняется неравенство f(b)-f(a)=f?(c)(b-a)



Решение: Теорему Лагранджа можно рассматривать как частный случай теорему Коши. Действительно, положив ф(х)=х, находим ф(b)-ф(а)=b-a, ф'(x)=1, ф'(с)=1. Подставляя эти значения в формулу из Коши получаем формулу

Числитель f(b)-f(a)

Знаменатель b-a

Равно f'(c)



Геометрический смысл

На графике функции у=f(x) найдется точка с (c,f(c)), к которой касательная к графику функции параллельная секущей АВ






Теорема Коши


Если функция f(x) и ф(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a;b), причем ф?(х)!=0, для х э (a,b), то найдется хотя бы одна точка с э (а, b), такая, что выполняется неравенство f(b)-f(a) = f?(c) и внизу также по фи




Теорема Роля


Если функция f(x) непрерывно на отрезке <a,b>, дифференцируемая на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковое значение f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с э (a,b) в которой производная f?(x) общается обращается в нуль.




Производная сложной функции


Пусть у=f(u) и u=ф(х). y=f(ф(x) ? сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым х.

Если функция u=u(x) имеет производную y?^^u в соответствующей точке u=ф(х), то сложная функция y=f(ф(x) имеет производную y?^^x в точке x, которая находится по формуле y?^^x=y?^^u*u?^^x




Уравнение касательной к плоской кривой


у-у0=f?(x0)*(x-x0)




Определение производной, ее геометрический смысл


Производной функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом приращение аргумент стремится к 0.



Геометрический смысл ? производная у=f(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке, абсцисса которой равна х




Замечательный предел


1 Замечательный предел. Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, при этом сам аргумент стремится к 0. lim (x->0) sinx/x=1

2 Замечательный аргумент lim (x->**) (1 + 1/x)^x = l




Непрерывность функции в точке. Точки разрыва.


Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. lim (x->x0) f(x)=f(x0)

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) у=f(x) определена в точке х0 и ее окрестности

2) у=f(x) имеет предел при x->x0

3) Предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке

Точки разрыва бывают первого рода и второго

Первого порядка у=f(x) если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа

Второго порядка, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен **




Бесконечная большая функция


Функция у=f(x) называется бесконечно большой при х->x0, если для любого положительного ю найдется такое положительное б=б(ю), что для всех х удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<б выполняется неравенство f(x)>ю




Односторонние пределы


Число А1 называется пределом функции у=f(x) слева в точке х0, если для любого числа ю>0 существует число б=б(ю)>0, такое, что при х э (х0-б; х0) выполняется неравенство у=f(x)-А1 < ю




Определение предела функции в точке


Число А называется пределом функции у=f(x) в точке х0, если для любого положительного ю найдется такое положительное б, что для всех х!=х0, удовлетворяющих неравенству (х-х0)<б выполняется неравенство у=f(x-А)<ю




Определение предела числовой последовательности


Число А называется пределом у=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящихся к x0, последовательность соответствующих значений f(xn) сводится к A




Множества

Множество - это набор однотипных логически связанных друг с другом объектов.

Мн-во назыв. заданным если о люб. эл-те можно сказать, принадлеж. он этому

множеству или не принадлеж.

Сп-бы задания мн-ва:

1) Перечисление всех его элементов.

Н: А={2,3,4}

2)Указание характерестических свойств элементов множеств.

Характерестическое св-во эл-тов мн-ва - св-во кот. облад. каждый элемент данного мн-ва и не облад. никакой эл-т друг. мн-ва.

Мн-ва назыв. равными если они сост. из одних и тех-же эл-тов.

Мн-во конечно, если все его элементы можно пересчитать.

Мн-во бесконечно, если его элементы нельзя пересчитать.

Операции над мн-вами:

Конъюнкция, Дизъюнкция, Импликация, Эквиваленция, Инверсия.


45


В нечеткой логике вводится понятие лингвистической переменной, значениями которой являются не числа, а слова естественного



языка, называемые терминами (иногда говорят термы).

Определение. Лингвистическая переменная состоит из 5 частей (X, T(X), U,G,M), где Х – имя переменной, Т(Х) – множество



терминов, то есть множество названий лингвистических значений Х, U – предметная область, G – правила для генерации имен, М –



множество правил для связи каждого Х с его значением.


Нечеткие множества и операции над ними


Классическая логика оперирует лишь двумя значениями: истина и ложь. Основным отличием нечеткой логики от классической – это



наличие промежуточных значений. Поэтому все значения будут из промежутка [0,1]. F={0..1}.

Соответственно вводятся расширения базовых операций:

Логического умножения: а<*>b=min(a,b);

сложения: a -дизъ- b=max(a,b);

отрицание: =1-а.

Сохраняются все свойства кроме

А -дизъ- =И → мах(м(А), м( ))=1/2….

А<*>=Л → min(м(А), м( ))=1/2….

Легко заметить, что при использовании только классических состояний (0-ложь, 1-истина) мы получаем классические законы



логики.

Основным понятием нечеткой логики является понятие нечеткого множества.




Оператор минимизации.


Пусть задана некоторая функция f(x,y). Зафиксируем значение х и выясним, при каком у f(x,y) = 0.

Более сложная задача, найти наименьшее у, такое, что:<*>(x) =<*>y[f(x,y) = 0].

Наименьшее у, такое, что f(x,y) = 0.

Аналогично:<*>(x1, ..., xn) =<*>y[f(x1, ..., xn, y) = 0];<*>получается применением<*>-оператора.

Замечание 1: для вычисления<*>(x1, ..., xn) можно предложить последовательно вычислить, сравнивая с нулём f(x1, ..., xn,



0)<*>0; f(x1, ..., xn, 1)<*>0; ...; f(x1, ..., xn, k) = 0.

Замечание 2:<*>(x1, ..., xn) неопределенна, если везде<*>0 или до 0 f неопределенна.

Пример: f(x,y) = x-y;

f(x,y) =<*>z[y+z=x] =<*>z[I32(x,y,z)+I33(x,y,z)+ (x,y,z)].

Для вычисления f(5,2), т. е. у=2, х=5, необходимо при у=2 придать х последовательно значения:

z = 0 2+0 = 2<*>5

z = 1 2+1 = 3<*>5

z = 2 2+2 = 4<*>5

z = 3 2+3 = 5 = 5

т. е. f(5,2) = 3

Функция f(x1, ..., xn) называется частично рекурсивной, если она может быть получена за конечное число шагов из простейших



функций при помощи операторов: подстановки, рекурсии и<*>-оператора.

Теорема: класс частично рекурсивных функций равномощен классу функций, вычислимых по Тьюрингу.

Функция f(x1, ..., xn) называется обще-рекурсивной, если она частично рекурсивна и всюду определена.

Например: S(x), O(x), Inm(x1, ..., xn), x+y, x*y, x+n, ...



Пусть А – алфавит. Нормальный алгоритм Маркова задается алфавитом А и нормальной схемой подстановок.

Алфавит – конечное непустое множество элементов, называемых буквами. Конечные последовательности букв образуют слова (в том



числе и пустые).

Нормальная схема подстановок – это конечный набор, состоящий из пар слов(подстановок)<*>-><*>(подстановка)



или<*>->•<*>(конечная подстановка), где левое слово переходит (заменяется) в правое (но не наоборот)

Нормальная схема подстановок U.

<*>1-><*><*>1;



ak-><*>bk, ai->bi<*>A*, i=0,1,2,…,k

Принято говорить, что слово Т входит в слово Q, если существуют такие (возможно пустые слова) W и V, что Q=WTV.

Опишем следующий алгоритм переработки любого слова Р в алфавите А.

Находим в схеме U подстановку Рi <*>Qi, такую, что Рi входит в Р и самое левое вхождение Рi заменяется на Qi. Если это



конечная подстановка, то процесс приостанавливается. Он приостанавливается так же, когда нет ни одной подстановки левее



слова, которое входит в слово на котором мы останавливаемся. Последнее слово на котором мы остановились и является



результатом переработки слова Р схемой U.

U(P)=P’.

Если подстановка совершилась и она не конечная, и R – результат подстановки, полученной из слов Р, то аналогичное



осуществляется со словом R.

Итак, если процесс обрывается (нет ни одной применимой подстановки) на слове Q или процесс приходит в конечную подстановку



(наличие •- точки), то говорят, что алгоритм слово Р перевел в слово Q.

Описанный алгоритм и называется нормальным алгоритмом Маркова.

Тезис Маркова: Всякий интуитивный алгоритм представим в виде нормального алгоритма Маркова.

Теорема: Класс нормальных алгоритмов совпадает с классом алгоритмов Тьюринга и с классом частично рекурсивных функций.




Задачи о нахождении алгоритмов для тех или иных вычислений.


Задачи о нахождении алгоритмов для тех или иных вычислений, обычно называют алгоритмическими проблемами.

Если алгоритма для вычисления той или иной функции не существует, то говорят, что соответствующая алгоритмическая проблема



неразрешима.

1)Неразрешимость проблемы распознавания в математической логике.

Теорема Черга: проблема распознавания выводимости алгоритмически неразрешима.

Т. е. для любых двух формул А и В в логическом исчислении нельзя узнать, существует ли дедуктивная цепочка, ведущая от А к В.

2)Неразрешимость проблемы распознавания самоприменимости.

МТ самоприменима, если она применима к своему коду. Иначе она несамоприменима.

Теорема: Не существует алгоритма, который по любой МТ определял, является ли она самоприменимой.

3)Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений неразрешима. (Марков – 1946, Пост - 1947).

Ассоциативным исчислением называется совокупность всех слов в некотором алфавите вместе с какой-нибудь конечной системой



допустимых подстановок.

4)Эквивалентность машины Тьюринга неразрешима.



Гедель и Чёрг описали класс всех рекурсивных функций, как класс всех числовых функций, определяемых в некоторой формальной



системе, и он оказался равномощен всем вычислимым по Тьюрингу функциям.

Выберем следующие простейшие функции:

• S(x) = x+1 – функция сдвига;

• O(x) = 0 – функция аннулирования;

• Inm(x1, x2, ...xn) = xm; 1 <*> m <*> n – функция проектирования или выделения аргумента.

И два оператора – т. е. операции над функциями: подстановка (суперпозиция) и рекурсия.

Оператор подстановки:

f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, ..., xn), ...fm(x1,..., xn) и<*>(x1, ..., xm).

<*>(x1, ..., xn) =<*>(f1(x1, ..., xn), ...fm(x1, ..., xn)).

И тогда говорят, что <*> получена из<*>и f1, ...fn – суперпозицией.

Замечание: если ?, f1, ..., fn – всюду определены, то и <*> будет всюду определённой функцией.

Замечание: не обязательна зависимость от всех аргументов, можно использовать фиктивные аргументы и функции Inm.

<*>(x,y,z) =<*>(f1(x), f2(x,y,z), z); F1(x,y,z) = f1(x); F2(x,y,z) = f2(x,y,z); F3(x,y,z) = I33(x,y,z).

И тогда <*>(x,y,z) =<*>(F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z)).

Оператор рекурсии применяется либо к натуральному числу и функции h вместимости 2, либо к функциям g и h размерности n-1 и



n+1 и задаётся следующими рекурсивными равенствами:

(R1) {f(0) = c; f(x+1) = h(x,f(x))}

(R2) f(x1, ..., xn-1, 0) = g(x1, ..., xn-1); f(x1, ..., xn-1, xn+1) = h(x1, ..., xn-1, xn, f(x1, ..., xn-1, xn)).

Итак, в случае (R2) f – n-местная; h – n+1-местная; g – n-1-местная.

Говорят, что f получается из h и g по схеме примитивной рекурсии.

Замечание 1: очевидно, что, если h и g всюду определены, то и f всюду определена.

Замечание 2: вычисление ведётся по следующей схеме:

Для вычисления f(a1, ..., an) f(a1, a2, ..., an-1, 0) = g(a1, a2, ..., an-1) = b0;

f(a1, a2, ..., an-1, 1) = h(a1, a2, ..., an-1, 0, b0) = b1;

f(a1, a2, ..., an-1, 2) = h(a1, a2, ..., an-1, 1, b1) = b2.



Примитивно рекурсивной функцией называется функция, которая принадлежит к числу простейших: O, S, Inm, либо может быть



получена из них с помощью операторов подстановки и рекурсии.




Унификатор двух термов.


Унификатором двух термов называется подстановка, которая делает термы одинаковыми.

Терм1 f(x) Терм2 у

а) унификатор {х = а; у = f(a)} – подстановка

f(a) f(a)

б) унификатор {x = z; y = f(z)} - подстановка

f(z) f(z)

Если существует унификатор двух термов, то они называются унифицируемыми.

Легко видеть, что любой унификатор определяет общий пример, и обратно: любой общий пример определяет унификатор.

- в случае а) общим примером для f(x) и у является f(a)

- в случае б) общим примером для f(x) и у является f(z)

наиболее общим унификатором двух термов называется унификатор, соответствующий наиболее общему примеру:

для f(x) и у унификатор примера б), то есть {x = z; y = f(z)} является наиболее общим унификатором.

Если два терма унифицируемы, то существует единственный наиболее общий унификатор. Единственность определена с точностью до



переименования переменных (например, f(z) и f(t)).

Определим основные компоненты алгоритма унификации (нахождения наиболее общего унификатора) двух термов. Если термы не



унифицируемы, алгоритм должен сообщить об отказе.

1. Константы унифицируемы, когда они совпадают

2. Переменные унифицируемы со всеми (константы, переменные, термы)

3. Термы унифицируемы тогда и только тогда, когда их названия совпадают и унифицируемы между собой соответствующие аргументы.



Теперь мы в состоянии обобщить понятие резольвента двух дизъюнктов и правило резолюций для исчисления предикатов.

Пусть дизъюнкты С1 и С2 исчисления предикатов имеют вид: и L1 и L2 имеют наибольший общий унификатор q (т.е. L1q и L2q



совпадают, а L1q и L2q - контрарная пара), тогда С1 и С2 называется дизъюнктор q q, а правило резолюций .

Заметим, что в С1 и С2 все переменные связаны, а значит, в L1 и L2 нет одинаковых переменных, что упрощает поиск унификатора.

Теорема: резольвента является логическим следствием резольвируемых дизъюнктив (т.к. контрарные пары не могут дать истинность,



а истинность заключена либо в либо в, а значит в




Опровержение методом резолюций


Опровержение методом резолюций – это алгоритм автоматического доказательства теорем, в исчислении высказываний (в исчислении



предикатов), который сводится к следующему.

Пусть нужно установить выводимость Г ├ G.

Каждая формула множества Г и формула<*>G независимо преобразуются в множество предложений (при этом используется в исчислении



предикатов клазуальное представление, а в исчислении высказываний КНФ). В полученном совокупном множестве предложений S



отыскиваются резольвируемые предложения, к ним применяется правило резолюций и резольвента добавляется в множество до тех



пор, пока не будет получено пустое предложение. При этом возможны три случая.

1. среди текущего множества предложений нет резольвируемых. Это означает, что теорема опровергнута, то есть формула G не



выводима из множества формул Г.

2. в результате очередного применения правила резолюции получено пустое предложение. Это означает, что теорема доказуема, то



есть Г ├ G.

3. процесс не заканчивается, то есть множество предложений пополняется все новыми резольвентами, среди которых нет пустых.



Это ничего не означает.

(исчисление предикатов является полуразрешением теорем, а метод резолюций является частичным алгоритмом автоматического



доказательства теорем. Для исчисления высказываний все будет завершаться.).




Правило резолюции для исчисления высказывания


Пусть С1 и С2 два предложения в исчислении высказываний и С1=Р -дизъ- С’1, C2= -дизъ- C’2, Р – пропозициональная переменная,



а С’1, C’2,предложения.

Правило вывода

С1, С2 R - называется правилом резолюций.

С’1 -дизъ- C’2

Предложения С1 и С2 называются резольвирующими (родительскими).

Многие ранее рассмотренные правила являются частным случаем правила резолюции.

Теорема :Правило резолюции дает резольвенту, которая является логическим следствием резольвируемых предложений.

Доказательство.

Если C1(I)=C2(I)=И<*>либо P(I)=И, тогда C’2(I)=И, то есть (С’1 -дизъ- C’2)(I)=И, либо P(I)=Л, тогда С’1(I)=И, то есть (С’1



-дизъ- C’2)(I)=И.



Пусть S – множество дизъюнктов. Резолютивный вывод С из S есть такая конечная последовательность С1, С2,…, Сk дизъюнктов, что



каждый Сi принадлежит S, или является резольвентой дизъюнктов, предшествующих Сi, и Ск=C.

Вывод пустого дизъюнкта <*> из S называется опровержением S (или доказательством невыполнимости (противоречивости) S).

Теорема. (полнота резолюций): Множество S дизъюнктов невыполнимо (противоречиво) тогда и только тогда, когда существует



резолютивный вывод пустого дизъюнкта <*> из S.




Скулемовска стандартная форма


1. Формула логики предикатов может быть приведена к равносильной формуле, имеющей предваренную нормальную форму. То есть к



формуле, у которой матрица не содержит никаких кванторов, а префикс есть последовательность кванторов.

2. Сохраняя противоречивость формулы, в ней можно избавится от квантора существования путем использования скулемовских



функций.

Полученное определение и называется скулемовской стандартной формой.

Покажем, как осуществляется уничтожение кванторов существования, с сохранением противоречивости формулы.

(Q1x1)…(Qnxn)M

• заменим самые левые кванторы существования, до квантора всеобщности на константы а1, а2,…

• внутренние кванторы существования, до которых есть(х1)(х2)…(хi)(xi+1),в М xi+1 заменить на f(x1,x2,…,xn).

Константы и функции, используемые для замены переменных квантора существования, называются скулемовскими функциями.

Результат – скулемовская стандартная форма.

Скулемовская форма, матрица которой является КНФ называется клазуальной формой.




18-21 Процедуры поиска доказательства(теорем)


Рассмотрим процедуры поиска доказательства(теорем).

Черге, а затем Тьюрингом было доказано, что не существует никаких общеразрешающих процедур, никакого алгоритма, проверяющего



общезначимость формул логики предикатов.

Тем не менее существуют алгоритмы поиска доказательства, которые могут подтвердить, что формула общезначима, если она на



самом деле общезначима. Для необщезначимых формул эти алгоритмы, вообще говоря, не заканчивают свою работу. Это лучшее, на



что можно надеятся.

Очень важный подход к автоматическому доказательству теорем был дан Эрбраном в 1930году. Он предложил рассматривать лишь



определенные интерпретации. В 1965 году Робинсоном была предложена процедура поиска доказательств – метод резолюций,



оказавшийся очень эффективным.

Процедуры поиска доказательств с использованием метода резолюций на самом деле являются процедурой поиска опровержения, то



есть вместо доказательства общезначимости формулы, доказывается, что отприцание формулы противоречиво. Процедура опровержения



применяется к стандартным формам формул.




Теорема Черча.

Т. Не существует алгоритма который по любой формуле определяет является ли она общезначимой или нет. Т.е. проблема разрешений не разрешима.




Терема дедукции.


Т. Если Н, А├В при этом в выводе не при каком применении правила связывания квантором к формулам, зависящим в этом выводе от



А, не связывается квантором никакая свободная переменная, входящая в А, тогда Н├А->В.




Формулы, общезначимость.


Формулы F и G назовем равносильными, если при любой интерпретации их истинностные значения совпадают.(I)F(I)=G(I).

Отметим, что все равносильные пары формул, приведенные в логике высказываний, сохраняются и здесь.

1. (Qx)F[x] -дизъ- G -экв- (Qx)(F[x] -дизъ- G)

2. (Qx)F[x]<*>G -экв- (Qx)(F[x]<*>G)

3. -экв- (x)

4. -экв- (x)

5. (х)F[x]<*>(x)H[x] -экв- (x)(F[x]<*>h[x])

6. (x)F[x] -дизъ- (x)H[x] -экв- (x)(F[x] -дизъ- H[x])

7. (Q1x) F[x] -дизъ- (Q2x) H[x] -экв- (Q1x) (Q2z) (F[x] -дизъ- H[z])

8. (Q3x) F[x]<*>(Q4x) H[x] -экв- (Q3x) (Q4z) (F[x]<*>H[z]),

Q1, Q2, Q3, Q4, -  или 

Замечание: если Q1 = Q2 = , а Q3 = Q4 = , то переменные можно не переименовывать.



Формула G является логическим следствием формул F1, F2,…, Fn тогда и только тогда, когда для каждой интерпретации I, если



F1ÙF2Ù…ÙFn истина в I, то G так же истинно на I.

Замечание 1. логика предикатов является расширением логики высказываний. Если формула в логике предикатов не содержит



переменных и кванторов, то ее можно рассматривать просто как формулу в логике высказываний.

Замечание 2. справедливы теоремы:

1. G логическое следствие F1, F2,…, Fn, тогда и только тогда, когда F1ÙF2Ù…ÙFn->G -экв- И – общезначимость.

2. G логическое следствие F1, F2,…, Fn, тогда и только тогда, когда F1ÙF2Ù…ÙFn<*>- противоречивость.



Доказать общезначимость формулы по интерпретации невозможно, так как количество интерпретаций бесконечно.

Можно предложить два направления решения этой проблемы:

• Выбор определенной интерпретации;

• Приведение к определенному виду.

Формула F в логике первого порядка находится в предваренной нормальной форме, если она имеет вид (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M, где



Qixi : х или х, а М – формула не содержащая кванторов.

(Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn) называется префиксом, М – матрицей формулы F.

Любую формулу преобразованиями можно привести к предваренной форме.

Алгоритм преобразования формулы в предваренную нормальную форму:

шаг 1: избавиться от -> и <->

шаг 2: -экв- F -экв- и -экв-

, знак отрицания проносится внутрь формул.

Шаг 3: переименовываем связанные переменные, если это необходимо.

Шаг 4: используя равносильности, выносим кванторы в самое начало формул.

Получаем формулу, равносильную исходной и находящуюся в проверенной нормальной форме.

Можно построить аксиометрическое исчисление предикатов: определив формально алфавит и формулы, добавив к аксиомам и правилам



вывода исчисления высказываний две аксиомы:

• (x)F(x)->F(t)

• F(t)->(x)F(x), где t – не содержит переменной х.

Правила вывода переменной х:

1. F->G(x) правило введения квантора общности.

F->(x)G(x)

2. G(x)->F правило введения квантора существования.

(x)G(x)->F

Замечание. F не зависит от х.




Формулой логики предикатов называется


1. атом (атомарная формула);

2. если F и G формулы, то G<*>F, G -дизъ- F – формулы и т.д.;

3. если F формула и х свободная переменная, то (х)F и (х)F – формулы;

Формулы должны быть конечны.

Если P – n-местный предикатный символ и t1, t2, …, tn - термы, то P(t1, t2, …, tn) атом.



На интерпретации формула логики предикатов получает конкретное значение И или Л (то есть это значение вычисляется).

Формулу G назовем непротиворечивой (выполнимой), если существует такая интерпретация I, что G имеет значение И (истина) на I.

Такую интерпретацию I (на которой G(I)º И) назовем моделью формулы G. Будем говорить, что интерпретация I удовлетворяет G.

Формулу G назовем противоречивой (невыполнимой) тогда и только тогда, когда не существует интерпретация, которая



удовлетворяет G (то есть не существует модели для G).

Формулу G назовем общезначимой (тождественно истинной) тогда и только тогда, когда для любой интерпретации I, формула G



принимает истинные значения.

 - квантор общности (все);

 - квантор существования (существует для некоторых).

Область действия квантора входящего в формулу – это подформула, к которой он применяется.

Вхождение переменной х в формулу называется связанным если это вхождение находится в области действия квантора по этой



переменной. Иначе называется свободным.




Исчисления высказываний.


Легко сопоставить каждой формуле исчисления высказываний соответствующую ей формулу алгебры высказываний, и наоборот (с



учётом операции <->, т.к. она выражается через другие). Вместо конструкции A<->B, в языке исчисления высказываний пишем



(A->B)<*>(B->A).

Все аксиомы предложенные в исчислении высказываний являются тождественно истинными в логике высказываний.

Следствие 1: ├а<*>а тождественно истинно.

В исчислении высказываний нельзя вывести формулу и её отрицание одновременно. То есть исчисление высказываний является



непротиворечивой теорией.

Следствие 2: Всякая тождественно истинная формула выводима в исчислении высказываний, т.е. исчисление высказываний является



полной теорией в широком смысле.

Исчисление высказываний является полной теорией и в узком смысле. То есть присоединение к аксиоме какой-нибудь не выводимой



формулы приводит к противоречию.



Независимость аксиом исчисления высказываний означает, что ни одна из них не выводима из других, и если отбросить хоть



какую-нибудь, то потеряем полноту, т.к. не будет выводиться она сама.

Рассмотренный подход построения исчисления называется Гильбертовским. Такого же типа является формализация, где вместо modes



pones (U, U-> ?, то<*>) берётся правило modUs tollens (А->В,<*>В, то<*>А).

Существуют и другие типы подходов, позволяющие получить исчисление высказываний. Например, секвенциальные (Генценовские), в



основу которых положены только правила вывода(Г├U, Г├ ?, то Г├U<*>? ), там почти нет аксиом и т.д.

В исчислениях гильбертовского типа выводимость описывается технически проще, зато исчисления генценовского типа более



естественны – вывод в них похож на то, как на самом деле рассуждает математик.




Теорема о дедукции


F1, …,Fn, A├ B<*>F1, …,Fn ├ A-> B.

Следствие: A├ B<*>├ A-> B.



Проблема разрешения: существует ли алгоритм, выясняющий для любой формулы логики высказываний, является ли она тождественно



истинной или нет. Имеются нормальные формы, с помощью которых можно решить эту проблему.

Теорема: Для того, чтобы формула логики высказываний была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы каждая



элементарная дизъюнкция, составляющая КНФ, содержала бы некоторую переменную с её отрицанием.

<*>(необходимость) очевидно, так как если в каждой элементарной дизъюнкции есть Х и, то она И, то есть, конъюнкция истин



тождественно истинна.

<*>(достаточность) формула тождественно истинна. Покажем, что все элементарные дизъюнкции содержат Х и . Предположим



противное, то есть есть элементарные дизъюнкции, в которых нет таких переменных: Х -дизъ- -дизъ- Z. Тогда эта элементарная



дизъюнкция примет ложное значение, если вместо переменных, которые просто входят в эту элементарную дизъюнкцию, взять



значение Л, а вместо тех, которые входят с отрицанием, взять И, тогда и вся формула примет ложное значение. Чего не может



быть. То есть предположение не верно, а значит в каждой элементарной дизъюнкции есть переменная и её отрицание.

Теорема: Для того, чтобы формула логики высказывания была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы каждая



элементарная конъюнкция ДНФ содержала некоторую переменную и её отрицание.




Правило подстановки


Пусть U формула, содержащая переменную А. Тогда, если U - выводимая формула исчисления высказывания, то, заменив в ней



переменную А произвольной формулой b,получим так же выводимую формулу .

Правило заключения (modUs pones)

Если U и U->b выводимые формулы, то b так же выводима (правило отделения). (U, U->b b ).

Выводом формулы G из формул F1, …,Fn называется такая последовательность формул E1,…, En, где Ек=G и любая формула Ei(i<*>к)



является:

• либо аксиомой;

• либо формулой FJ(Ei=FJ);

• либо Ei получается из каких-либо предыдущих E1,…, Ei-1, одним из правил выведения ;

Сама формула G называется выводимой из формул F1,…,Fn .

F1,…,Fn ¬├ G.

Формула G выводимая только из аксиом называется теоремой, а вывод - доказательство этих теорем.



При построении вывода можно пользоваться уже полученными результатами, в частности, полученными теоремами и очень важной



теоремой:




Аксиомы исчисления высказывания.


1. А->(В->А)

2. (А->(В->С))->((А->В)->(А->С))

1. А<*>В -> А

2. А<*>В -> В

3. (А->В)->((А->С)->(А->(В<*>С)))

1. А->А -дизъ- В

2. В->А -дизъ- В

3. (А->С)->((В->С)->(А -дизъ- В->С))

1. (А->В)->( -> )

2. A->

3. ->A




Формулы. Алгоритм приведения формул к ДНФ (КНФ)


Формулу G назовем логическим следствием формул F1,…,Fn если при любой I при которой F1,…,Fn истинны, G также является



истиной.

Теорема: формула G является логическим следствием формул F1,…,Fn<*>F1<*>…<*>Fn->G - тождественно истинно.

Теорема: формула G является логическим следствием формул F1,…,Fn<*>F1<*>…<*>Fn<*>- тождественно ложно.

Формальное доказательство:

G – логическое следствие F1,…,Fn<*>

F1<*>…<*>Fn->G -экв- И<*>

-экв- Л<*> -экв- Л<*>

F1<*>…<*>Fn<*> -экв- Л.

Итак, доказательство того, что а является логическим следствием F1, F2, F3,…,Fn можно провести следующими способами:

1. Построить и сравнить таблицы истинности для F1<*>F2<*>F3<*>…<*>Fn и G .

2. Построить таблицы истинности для F1<*>F2<*>F3<*>…<*>Fn ->G и F1<*>F2<*>F3<*>…<*>Fn

3. Преобразовать выше указанную форму к ДНФ или КНФ.



Литерой назовём переменную и отрицание переменной.

Формулу, состоящую только из конъюнкций литер, назовём элементарной конъюнкцией.

Формулу, состоящую только из дизъюнкций литер, назовём элементарной дизъюнкцией.

ДНФ назовём формулу, состоящую из дизъюнкций элементарных конъюнкций.

КНФ назовём формулу, состоящую из конъюнкций элементарных дизъюнкций.

Алгоритм приведения формул к ДНФ (КНФ):

шаг 1: избавиться от -> и <->

шаг 2: перевести отрицание к переменным, избавиться от двойного отрицания

шаг 3: используя дистрибутивность (и другие законы), получить КНФ (ДНФ)

F -дизъ- (G<*>H) -экв- (F -дизъ- G)<*>(F -дизъ- H) – для получения КНФ

F<*>(H -дизъ- G) -экв- (F<*>G) -дизъ- (F<*>H) – для получения ДНФ.

ДНФ называется СДНФ, если элементарные конъюнкции, составляющие эту ДНФ, содержат все переменные или их отрицание и только



один раз.

КНФ называется СКНФ, если элементарные дизъюнкции, составляющие КНФ, содержат все переменные или их отрицание и только один



раз.

СКНФ дает тождественно истинную формулу <-> когда в каждой элементарной дизъюнкции содержится какая-либо переменная с



отрицанием.

СДНФ дает тождественную ложь <-> когда в каждой элементарной конъюнкции содержится какая-либо переменная с ее отрицанием.




Высказывание


Высказывание – повествовательное (декларативное) предложение, которое является истинным (И) или ложным (Л).

Предложение, полученное путём увязывания двух или более высказываний логическими операциями, также принимает истинное или



ложное значение, а значит является высказыванием (сложным).

Запись таких предложений в символическом виде назовём формулой и будем обозначать большими готическими буквами.

Значение высказываний, полученных из двух простых, соединённых логической операцией, определяется с помощью таблиц



истинности.

Зная приоритетность выполнения логических операций и учитывая скобки, можно легко подсчитать значение любой формулы, то есть



получить её таблицу истинности.

Приоритетность: скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация (следование), эквивалентность.

Интерпретацией формулы (Х1,Х2,…,Хn) назовём кортеж (последовательность) конкретных значений переменных, входящих в эту



формулу.

(АÚВ)->

А=И; В=И; С=Л – интерпретация.

Формулы и назовём равносильными, если при любой интерпретации, в которую включены все переменные этих формул, значения этих



формул совпадают ( -экв- ).

Формулу назовём выполнимой, если существует интерпретация, при которой она принимает истинное значение.

Формулу назовём тождественно истинной (тавтологией, общезначимой), если при любой интерпретации она принимает истинное



значение.

Формулу назовём тождественно ложной (невыполнимой, противоречивой), если при любой интерпретации она принимает ложное



значение.

Тождественно истинные формулы занимают особое место. Поэтому для логики высказывания было бы интересно решить задачу,



называющуюся проблема разрешения, и заключающуюся в том, чтобы указать единый алгоритм, позволяющий для каждой формулы



выяснить, является ли она тождественно истинной или нет. Известно, что эта проблема разрешима.

Решение 1.С помощью таблицы истинности формулы.

Решение 2.Путем приведения формул с помощью равносильных преобразований к специальным нормальным формам, по виду которых



можно определить, какой является исходная формула.

1. -экв- X – закон двойного отрицания.

2. X<*>Y -экв- Y<*>X – коммутативность (<*>).

3. (X<*>Y)<*>Z -экв- X<*>(Y<*>Z) – ассоциативность (<*>).

4. X -дизъ- Y -экв- Y -дизъ- X – коммутативность ( -дизъ- ).

5. (X -дизъ- Y) -дизъ- Z -экв- X -дизъ- (Y -дизъ- Z) – ассоциативность ( -дизъ- ).

6. X<*>(Y -дизъ- Z) -экв- (X<*>Y) -дизъ- (X<*>Z) дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции (ДНФ).

7. X -дизъ- (Y<*>Z) -экв- (X -дизъ- Y)<*>(X -дизъ- Z) дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции (КНФ).

8. X -дизъ- (X<*>Y) -экв- X

9. X<*>(X -дизъ- Y) -экв- X

10. -экв- <*>

11. -экв- -дизъ-

12. X -дизъ- X -экв- X - закон идемпотентности.

13. X -дизъ- -экв- И - закон исключающего третьего.

( -экв- И) – закон противоречия.

14. X<*>X -экв- X – закон идемпотентности.

15. Х<*> -экв- Л

16. X<*>И -экв- X

17. X -дизъ- Л -экв- X

18. (X<->Y) -экв- (X->Y)<*>(Y->X)

19. X->Y -экв- ( -дизъ- Y)<*>( -дизъ- X), X->Y -экв- -дизъ- Y

Равносильные формулы не обязательно должны содержать одни и те же переменные: ХÚ~X -экв- YÚ~Y.




Эффект процентной ставки


Interest-rate effect

Эффект процентной ставки - влияние уровня цен на общий объем расходов в стране через механизм процентной ставки:

- повышение уровня цен ведет к повышению спроса на деньги, повышает процентные ставки и сокращает общий объем расходов в стране;

- снижение уровня цен ведет к снижению спроса на деньги, снижает процентные ставки и увеличивает общий объем расходов в стране.


Эффект мультипликатора


Multiplier effect

Эффект мультипликатора - эффект изменения в равновесном уровне национального дохода в большем размере, чем инициирующее его изменение в планируемых расходах.




Экономико-математическая модель


Экономико-математическая модель - математическая модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Экономико-математическая модель описывает экономические процессы, объекты и связи с использованием математического аппарата.




Функция сбережения


Savings function

Функция сбережения - кривая, отражающая зависимость сбережений от изменений располагаемого дохода. Наклон функции сбережения определяется предельной склонностью к сбережению.




Средняя склонность к сбережениям


Норма сбережений

Average propensity to save (APS); Savings ratio

Средняя склонность к сбережениям - доля остающегося после уплаты налогов дохода, которую сберегают домохозяйства.

Средняя склонность к сбережениям - отношение объема сбережений к доходу после уплаты налогов.

Изменения нормы сбережений отражают колебания предпочтений населения между немедленным и будущим потреблением.




Средняя склонность к потреблению


Average propensity to consume (APC)

Средняя склонность к потреблению - доля остающегося после уплаты налогов дохода, которую домохозяйства расходуют на потребительские товары и услуги.




Сложный мультипликатор


Complex multiplier

Сложный мультипликатор - мультипликатор расходов, используемый в такой экономической модели, когда изменение ВВП вызывается не только изменением объема сбережений, но и изменением чистых налоговых поступлений и объема импорта.

Мультипликатор расходов есть величина обратная 1 - (MPS - MPM) * (1 - t), где MPS - предельная склонность к сбережениям; MPM - предельная склонность к импорту; t - предельная ставка налога.




Сдвиги графиков потребления и сбережения


Shifts in the consumption schedule; Shifts in the saving schedule

Сдвиги графиков потребления и сбережения - изменения положения кривых потребления и сбережения под влиянием не связанных с доходом факторов:

- величины накопленного богатства;

- ожиданиями домохозяйств насчет будущих цен, денежных доходов и доступности товаров;

- размером потребительской задолженности;

- уровнем налогообложения.




Рецессионный разрыв


Recessionary gap

Рецессионный разрыв - величина, на которую текущие совокупные расходы меньше совокупных расходов, соответствующих уровню ВВП при полной занятости. Рецессионный разрыв в несколько раз уменьшает реальный ВВП.




Равновесие сбережений и инвестиций


Savings-investment equilibrium

Равновесие сбережений и инвестиций - состояние экономики, при котором реальные сбережения и реальные запланированные инвестиции равны.




Простой мультипликатор


Simple multiplier

Простой мультипликатор - мультипликатор расходов в упрощенной экономической модели, характеризующейся отсутствием чистых налоговых поступлений у правительства, отсутствием импорта, а также тем, что инвестиции не зависят от уровня дохода.

Простой мультипликатор равен единице, деленной на предельную склонность к сбережениям.




Предельная склонность к сбережению


Marginal propensity to save (MPS)

Предельная склонность к сбережению - доля сбережений в любом изменении личного располагаемого дохода.

Предельная склонность к сбережению равна изменению объема сбережений, деленному на изменение дохода после уплаты налогов.




Предельная склонность к потреблению


Marginal propensity to consume (MPC)

Предельная склонность к потреблению - доля расходов на потребительские товары в любом изменении располагаемого дохода.

Предельная склонность к потреблению равна изменению в потреблении, деленному на изменение располагаемого дохода.

Между предельной склонностью к сбережению (MPS) и предельной склонностью к потреблению существует обратная зависимость: MPS = 1 - MPC.




Потенциальный объем выпуска


Потенциальный валовой национальный продукт

Potential output

Потенциальный объем выпуска - реальный объем продукции, который экономика в состоянии произвести при полном использовании имеющихся ресурсов.




Не связанные с процентом факторы инвестиций


Noninterest determinants of investment

Не связанные с процентом факторы инвестиций - все факторы, кроме процентной ставки, определяющие уровень инвестиционных расходов.




Не связанные с доходом факторы потребления и сбережений


Nonincome determinants of consumption and saving

Не связанные с доходом факторы потребления и сбережений - все факторы, помимо объема ВВП, влияющие на объем потребительских расходов и сбережений:

-1- богатство: обладание реальными и финансовыми активами;

-2- ожидания домохозяйств относительно будущих цен, денежных доходов и доступности товаров;

-3- задолженность потребителей;

-4- уровень налогообложения.




Мультипликатор


Multiplier

Мультипликатор - числовой коэффициент, показывающий, во сколько раз сумма прироста/сокращения национального продукта, дохода или денежного обращения превышает инициирующую такое изменение сумму инвестиций, правительственных расходов, налоговых отчислений или вкладов в финансово-кредитные учреждения. Различают:

- мультипликатор инвестиционных расходов;

- мультипликатор правительственных расходов;

- мультипликатор потребительских расходов;

- мультипликатор денежного предложения;

- налоговый мультипликатор.




Метод сопоставления совокупных расходов и внутреннего продукта


Aggregate expenditures - Domestic output approach

Метод сопоставления совокупных расходов и внутреннего продукта - метод определения равновесного ВВП в точке совпадения совокупных расходов и реального объема производства.

При любом уровне ВВП выше равновесного реальный объем производства будет превышать совокупные расходы, что приведет к незапланированным инвестициям в товарно-материальные запасы, снижению прибылей и к уменьшению объема производства, занятости и дохода.

При любом уровне ВВП ниже равновесного совокупные расходы будут превышать реальный объем производства, что приведет к незапланированному недоинвестированию в товарные запасы, значительному повышению прибылей и в конечном счете к росту ВВП.




Линия "доход-продукт"


Income-product line

Линия "доход-продукт" - прямая линия на графике национального дохода и национального продукта, представляющая равенство национального дохода национальному продукту.


Классический механизм стабилизации инвестиций и сбережений


Classical investment/savings stabilization mechanism

Классический механизм стабилизации инвестиций и сбережений - механизм автоматического поддержания равновесия сбережений и инвестиций в условиях гибкой ставки процента. Этот механизм позволяет равновесию сбережений и инвестиций совпадать с естественным уровнем национального продукта.




Кейнсианская трактовка взаимодействия сбережений и инвестиций


Keynes's critique of the investment/savings mechanism

Кейнсианская трактовка взаимодействия сбережений и инвестиций - предположение, что сбережения и планируемые инвестиции не чувствительны к ставке процента, а равенство сбережений и инвестиций может не совпадать с естественным уровнем национального продукта.




Инфляционный разрыв


Inflationary gap

Инфляционный разрыв - величина, на которую текущие совокупные расходы превышают совокупные расходы, соответствующие уровню ВВП при полной занятости. Инфляционный разрыв вызывает инфляцию спроса.




Изменение объема сбережений


Change in amount saved

Изменение объема сбережений - увеличение или сокращение объема сбережений в результате увеличения или сокращения располагаемого дохода при неизменной кривой сбережений.




Изменение объема потребления


Change in amount consumed

Изменение объема потребления - увеличение или сокращение потребительских расходов в результате увеличения или сокращения дохода после уплаты налогов при неизменной кривой потребления.




Запланированные инвестиции


Плановые инвестиции

Planned investment

Запланированные инвестиции - суммы, которые фирмы планируют или намереваются инвестировать. При равновесном ВВП плановые инвестиции равны сбережениям, а уровни товарных запасов стабильны: отсутствуют незапланированное инвестирование и недоинвестирование.




Законы Энгеля


Качественные схемы поведения

Engel's laws

Законы Энгеля - эмпирические закономерности изменения структуры расходов домохозяйств в зависимости от возрастания размера полученного ими дохода.

По мере роста дохода общее потребление будет возрастать, но в разных пропорциях.

По мере роста дохода, расходы на продукты питания будут расти с одновременным переходом от некачественного питания к качественному.

В общем объеме расходов доля продуктов питания будет сокращаться при росте расходов на недвижимость, отдых, путешествия, сбережения.

По мере роста дохода каждое домохозяйство будет тратить на потребление меньшие суммы и больше будет сберегать.

Законы Энгеля послужили основой для построения модели Д.М.Кейнса "доходы-расходы".




График сбережений


Saving schedule (SS)

График сбережений - график, отражающий связь между общим количеством реальных сбережений и процентной ставкой. График сбережений имеет вид прямой с положительным наклоном.




График потребления


Функция потребления

Consumption schedule; Consumption function

График потребления - график, показывающий динамику расходов домохозяйств на потребительские товары при разных уровнях личного располагаемого дохода при условии, что все прочие факторы неизменны. В основе графика потребления лежат законы Энгеля. График потребления имеет вид слегка выпуклой кривой.




График планируемых расходов


Planned-expenditure schedule (PE)

График планируемых расходов - график, показывающий зависимость уровня реальных планируемых расходов и уровня реального национального дохода. В кейнсианской модели "доходы-расходы" планируемые расходы реагируют, главным образом, на изменение дохода.




График планируемых инвестиций


Кривая спроса на инвестиции

Planned-investment schedule; Investment-demand curve

График планируемых инвестиций - кривая, показывающая обратную зависимость между общим количеством планируемых инвестиций и процентной ставкой.




Гипотеза о долгосрочном доходе


Гипотеза о долгосрочном доходе - теория определения уровня потребления М.Фридмана, в соответствии с которой потребление напрямую зависит от ожиданий человека в отношении собственного дохода в долгосрочной перспективе.




Модель "доходы-расходы"


Кейнсианский крест

Income-expenditure model

Модель "доходы-расходы" - кейнсианская модель равновесия национального дохода, в которой:

- планируемые расходы (совокупный спрос) и национальный продукт (совокупное предложение) являются функцией дохода и не зависят от цен, которые остаются фиксированными; а

- национальный продукт равен национальному доходу, который, в свою очередь, равен располагаемому доходу вместе с чистыми налогами.




Теорема Ферма и Ролля

Пусть функция f(x) имеет на множестве E точку экстремума x₀?E, причём множество E содержит некоторую β- окрестность, что E=(x- β;x+ β) точки x. Тогда либо f(x) имеет в точке x производную, равную 0, то есть f´(x)=0 , либо производная в точке x не существует.

Теорема Ролля

Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b), дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль, [f(a)=f(b)=0], то внутри отрезка (a;b) существует п окрпйней мере одна тоска x=c, a<c<b, в которой производная f´(x) обращается в нуль, т.е. f´(c)=0


Асимптоты графика функции

Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние L от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю.

Вертикальные асимптоты. Нужно найти такие значения x=a, при приближении к ктороым функция y=f(x) стремится к бесконечности.

Наклонные асимптоты. Y=kx+b. K=lim(x→∞)f(x)/x. B=lim(x→∞)[f(x)-kx].


Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

1)найти все максимумы функции на отрезке

2)определить значения функции на концах отрезка, т.е. вычислить f(a) и f(b)

3)из всех результатов выбрать наибольшее


Выпуклость и вогнутость графика функции и точки перегиба

Кривая выпукла, если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на жтом интервале

Кривая вогнута, если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале

Если во всех точках интервала (a;b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f´´(x)<0, то кривая y=f(x) на этом интервале выпукла

Если во всех точках интервала (b,c) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f´´(x)>0, то кривая y=f(x) вогнута

Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f´´(а)=0 или f´´(а) не существует и при переходе через значение x=a производная f´´(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.


Производные высших порядков. Механический смысл 2-й производной.

Если функция f(x) дифференцируема при всех x?(a,b), то мы можем рассмотреть функцию f?:(a,b)>R, сопостовляющую каждой точке x значение производной f?(x). Это функция f? называется производной функции f, или первой производной от f. Функция g?(x)=f?(x), в свою очередь может иметь производную во всех точках x интервала (a,b), которую мы обозначим g??(x)=f??(x) и назовём второй производной функции f(x). Если предположить, что вторая производная g?(x)=f??(x) существует в овсех точках x?(a,b), то она может также иметь производную g??(x)=f???(x), называемую третьей производной функции f(x).


Понятие дифференциала функции. Св-ва дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.

Если функция y=f(x) имеет производную f?(x) в точке x, то произведение производной f?(x) на приращение ?x аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy: dy=f?(x)?x.

Дифференциал суммы 2-х дифференцируемых функций u и v равен сумме дифференциалов этих функций d(u+v)=du+dv

Дифференциал произведения 2-х дифференцируемых функций u и v определяется формулой d(uv)=u*dv+v*du

нвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).

dy=(f(g(t))? dt=f?(x)g?(t)dt=f?(x)dg=f?(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как и в случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.


Общая схема исследования функции.

Найти:

1)естественная область существования функции

2)точки разрыва функции

3)интервалы возрастания и убывания функции

4)точки минимума и максимума, макс. и мин. значения функции

5)области выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба

6)асимптоты графика функции


Правило Лейбница

чтобы поставить вырожение производной надо учиться учиться и еще раз учиться


53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥) и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел aò+¥f(x)dx=limb®+¥ aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл aò+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ aòbf(x)dx= aòcf(x)dx+ còbf(x)dx {Т} По св-ву пределов aò+¥f(x)dx cущ Û когда сущ limb®+¥ aòbf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’òb’’f(x)dx Þ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел aòbf(x)dx= limx®a+0 aòbf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aòсf(x)dx и сòbf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то aòbf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®¥ при х®b-0, если b<+¥ {Св1} aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $aòbf(x)dx Û $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница aòbf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов aòbf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b aòh (mf1(x+lf2(x))dx= maòh f1(x)dx+laòh f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0aòh f1(x)dx и $limh®b-0aòh f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b Þ aòhf(x)dx<= aòhg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр aòhu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - aòhu’(x)×v(x)dx Þ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b Þa<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв.


#54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -¥<a<b£+¥ {T1} Пусть f(x)³0 "xÎ[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл aòbf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы aòhf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | aòhf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если aòbg(x)dx- сходится, Þ сходится и aòbf(x)dx Если aòbg(x)dx – расход Þ aòbf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 тоÞ существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. aòbg(x)dx –сход Þ aòbf(x)dx – сх Þ по Т1Þ"h,(h0,b) h0òhg(x)dx£M(M=const) Þ " xÎ(h0,b) h0ohf(x)dx£C h0ohg(x)dx£CM Þ все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-схÞaobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход Þaobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)³0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0£k<+¥ из сходимости aobg(x)dx Þ сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k£+¥ из расходимости aobg(x)dx Þ расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0£k<+¥ aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0£k<+¥ По определению предела для E=1 $(h0,b) | " xÎ(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 Þ k-1<f(x)/g(x)<k+1 Þ т.к. g(x)³0 Þ f(x)<(k+1)×g(x) Þf(x)=o(g(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þесли aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k£+¥ тогда по опред предела для E={1 при k=+¥ {k/2 при k<+¥ Þ $ (h0,b) | " xÎ(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+¥ |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+¥ Þ при к=+¥ g(x)<f(x); при k<+¥ f(x)/g(x)>k/2 Þ g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 Þ по Т2 Þ если aobg(x)dx –расход Þaobf(x)dx –расх.

#55aobf(x)dx-называется абс. сход если сходится aob |f(x)|dx Если aobf(x)dx-сх , а aob |f(x)| dx – расх то aobf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aob |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’ob’’ |f(x)| dx³| b’ob’’ f(x)dx т. е. для интеграла aobf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aob’f(x)dx|£ aob’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aob f(x)dx получим |aob f(x)dx|£ aob |f(x)| dx {Глав зн не соб ò}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -¥o+¥f(x)dx называется v.p. ¥o+¥f(x)dx=limh®+¥ -ho+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением ¥o+¥ по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ò наз v.p. aobf(x)dx=limE®0 (aoC-Ef(x)dx +C+Eobf(x)dx)

#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+¥) Тогда å(n=1,+¥)f(n) и 1ò+¥f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+¥) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]Ì[1,+¥) Þ т.к. ф-ция не возрастает на [1,+¥) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 Þ kòk+1f(x)dx>=kòk+1f(k+1)dx Þ f(k)>= kòk+1f(x)dx>=f(k+1) Þ å(k=1,n)f(k){=Sn}>=å(k=1,n){= 1òn+1f(x)dx} kòk+1f(x)dx>=å(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1òn+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1ò+¥f(x)dx сх Þ $M>0 | "hÎ[1;+¥) 1òhf(x)dx<=M Þ Sn+1-f(1)<= 1òn+1f(x)dx<=M Þ Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху Þ ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1òn+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого hÎ[1,+¥) $n Î N | h<=n 1ònf(x)dx<= 1òhf(x)dx+ hòn+1f(x)dx= 1òn+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1ò+¥f(x)dx-сход. ЧТД


52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-òA B-òB ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 òA и òB ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ò; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)³0 "xÎ[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£mi=inff(x)} Git={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£Mi=supf(x)}; Sgt=åi=1itmiDxi; SGt=åi=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. Þ по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)³0 "jÎ[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£mi=inff(j)} Git={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезкеÞ Площадь сектора git=m²iDj/2 и Git=M²iDj/2; Sgt=1/2×åi=1itm²iDj SGt=1/2×åi=1itM²iDj по критерии итегрируемости Þ lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2× aotf²(j)djÞ P-квадрируема и Sp=1/2× aobf²(j)dj.





















































51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"tÎ[a;b] j(t)Î[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))×j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))×j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))×j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках Þ оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))×j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)×v’(x)+u’(x)×v(x))dx= aobu(x)×v’(x)dx+ aobu’(x)×v(x)dx откуда Þ aobu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx



49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= aoxf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С "xÎ[a,b]Þ|DF|=|xox+Dxf(t)dt|£С×| xox+Dxdt|=С|Dx| ÞlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dEÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<EEÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× xox0+Dxdt|=E Þ $limDx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.


№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aobf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= aoxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aoxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aoаf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ aoxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.


48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и aobf(x)g(x)dx=m×aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0; mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx£aobf(x)g(x)dx£Maobg(x)dx при g(x)³0; maobg(x)dx³aobf(x)g(x)dx³Maobg(x)dx при g(x)£0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 aobg(x)dx>0, а при g(x)£0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m£aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx£M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx Þ получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)×aobg(x)dx



47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению аòa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред bòaf(x)dx=-aòbf(x)dx {Св-во1} aòbdx=b-a действительно ф-ция f(x)º1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1Þst=åi=1itf(xi)Dxi=åi=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a Þ lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: aòb(f(x)+g(x))dx= aòbf(x)dx+ aòbg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xiÎ[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=åi=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=åiti=1f(xi)Dxi+åiti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=aòbf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=aòbg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство aòb(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=aòbf(x)dx+aòbg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l×f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] Î[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " xÎ[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "хÎ[a,b] f(x)³0 тогдаÞ aobf(x)dx³0



46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=åI=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается aòbf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®¥f(xnjo)=¥ Рассмотрим сумму st=åI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда Þ, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stÞ"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<EÞ|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.



45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация òR(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg²(x/2))=2t/(1+t²), cosx=(1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=(1-t²)/(1+t²), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²), Þ òR(cosx,sinx)dx=òR(1-t²)/(1+t²),2t/(1+t²))×2dt/(1+t²)= òR1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).



44 Ф-цию вида R(x,mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)² Þ òR(x,mÖ(ax+b)/(cx+d))dx=òR((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)²=òR1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}



43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1×…×(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)m×Qn-m(z)Þ a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞ Pn(x)=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x-z1)b1×…×(x-zs)bs×(x-zs)bs=(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q1)b1×…×(x²+psx+qs)bs; Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b¹0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x²+px+q)m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)m=(Mx+N)/(x²+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A×(x-a1)a1×…×(x-ar)ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x²+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x²+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)m=Aò(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)m=M/2(1-m)(x²+px+q)m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)m























42 Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dx по условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+C Þ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òexsinxdx=exsinx-òexcosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-òexsinxdx); òexsinxdx=exsinx-excox-òexsinxdx; 2òexsinxdx=exsinx-excosxÞ òexsinxdx=(exsinx-excosx)/2



41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается òf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то òf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то òF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(òf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ò(f1(x)+f2(x))dx=òf1(x)dx+òf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то òf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a×aF’(ax+b)=f(ax+b);



40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Þ(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ÞF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2ÎX Þпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) Þy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.



39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+¥ Аналогично при х®-¥{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/Ö(1+a²) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+¥r(x)=0Þ limx®+¥(f(x)-ax-b)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a-b/x)=0Þ limx®+¥(f(x)/x-a)=0Þ a= limx®+¥f(x)/x ; b= limx®+¥(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+¥f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+¥ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=¥ limx®х0+0f(x)=¥ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.



38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ÎX выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Þx>x1Þx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Þx1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) Û f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 Þf’(x)<=f’(x2)Þ производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) Þ выполнено нер-во 1 Þ ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) Û f’ – возрастает(убывает) Û f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+a(x)(x-x0)², a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)²/2! ; Если предположить что f’’(x)¹0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Þ при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию Þ f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Þ(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 Þ Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак Þ х0-т. перегиба.



37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ $ U(x0,d) | " xÎU(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)Þ по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " xÎ(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " xÎ(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для xÎ(d,x0+d); f’(x)>0,a для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0, а для xÎ(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для xÎ(x0-d,x0) f’(x)>0 для xÎ(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 Þ x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0ÞDf<0. Если х<x0 Þ x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0ÞDf>0 Þ f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично



36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) Þ Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þ f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)Þ f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þ f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b) (f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)



35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x²/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þ l(1+x)=x-x²/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0



34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)²/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 Þrn(x)=o((x-x0)n),x®x0



33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)¹0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)Þ$ lÎ(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a Þ c®a Þ limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) limx®+¥f(x)=limx®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+¥) g’(x)¹0 ;4)$ limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 limx®a+¥f(x)/g(x)= limx®a+¥f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+¥; limx®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k



32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точка cÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)


Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)¹0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))×(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cÎ(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))×g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.


31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) Þ существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) xÎ(a,b) и F(a)=0=F(b) Þ по теореме Ролля $ сÎ(a,b) | F’(c)=0 Þ f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0


Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой сÎ(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))


30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0.


Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1Î [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2Î[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех хÎ(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.


29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.



28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)×t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)¹0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0×t’x|x=x0=y’’tt(t0)×x’t(t0)-y’t(t0)×xtt’’(t0)/(x’t(t0))



27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =åk=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!×(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = åk=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.



26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=uv×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0ÞlimDx®0Dy/DxÞ(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/Ö1-x² 6)(arccosx)’=-1/Ö(1-x²) 7) (arctgx)’=1/(1+x²) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x²) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a×xa-1



25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)¹0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)¹0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x¹x0®y¹y0ÞDx¹0® Dy¹0Þ Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0ÞDx®0ÞDy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)¹0Þj’(y0)=1/f’(x0)



23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V²


№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x)  дифф. в точке х0 .   y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’y×y’x=f’(y)×j’(x) ; dz/dx=dz/dy × dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ÞDz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ÞDy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке Þ (Dx®0ÞDy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0t×Dt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)×b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/Dy× limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0Þ (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0)


21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)Þ Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)×Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 Þ Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxÞ limDx®0Dy=0 Þ в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxÎU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 Þ Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/DxÞDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 Þ Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxÞ Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Þ ф-ция f- дифференцируема в т. х0


№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+DxÎ(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 Þ|M0M|=Ö(Dx²+Dy²)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) Þ уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) Þ касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1×(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали


20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®¥znÞ "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e Þ по опр. limn®¥Xn=x0 а limn®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды å(n=1,+¥)xn и å(n=1,+¥)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=å(k=1,n)xk+iå(k=1,n)yk и если ряд å(n=1,+¥)zn –сх то limn®+¥zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn Þ т.к. å(n=1,+¥)zn –сх Þ å(n=1,+¥)xn сх и å(n=1,+¥)уn –сх Þ limn®+¥xn=limn®+¥yn=0 Þlimn®+¥zn=limn®+¥xn+ilimn®+¥yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть å(n=1,+¥)zn –абс сход Þ å(n=1,+¥)|zn| -сх Þ Т.к. |xn|<=Ö(x²n+yn²)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) Þ по признаку сравнения å(n=1,+¥)|xn| -cх и å(n=1,+¥)|yn| -сх Þ å(n=1,+¥)xn –сх и å(n=1,+¥)уn-сх Þ å(n=1,+¥)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть å(n=1,+¥)|xn| и å(n=1,+¥)|уn| сх |zn=Ö(xn²+yn²)<= Ö(yn²+2|xn||yn|+yn²) <= Ö(|xn|+|yn|)²=|xn|+|yn| то по признаку сравнения å(n=1,+¥)|zn| - cх-ся.













19 Ряд ån=1¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ån=1+¥an -абс сх Þ ån=1+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "pÎZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e Þ по критерию Коши Þ ån=1+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ån=1+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ån=1+¥an и ån=1+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ån=1+¥an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности anÖ|an|; k=limn®+¥ nÖ|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх.



18 {O} Знакопеременными рядами называют ån=1+¥(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд å(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®¥)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S {Док-ть самим}


{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю


17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åan an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. å(n=1,+¥)qn-1 cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®¥)an¹0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+¥an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1Þ å(k=n0+1,+¥)ak –сх-ся Þ ån=1+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥ e>0 | k-e>1 Þ $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 Þ ån=1+¥an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд åan>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход



15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å+¥n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть åk=m+1+¥ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда å(1,+¥)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма åk=m+1+¥ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAnÞ $ limS®+¥Am+SÞ $limS®+¥A’S=lims®+¥Am+S-Am Þ åk=m+1+¥ak cx-cя; Пусть åk=m+1+¥ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+¥A’SÞ$limn®+¥A’n=m Þ $limn®+¥A=limn®+¥An-n+Am Þ ån=1+¥an ряд сх. {Следствие} Если ряд å(1,+¥)an сх-ся и an=å(k=n+1,+¥)ak Þlimn®+¥an=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=limn®+¥An Þ A=An+anÞan=A-A1 Þ limn®+¥an=A-limn®+¥An=0 {Т} Если ряды å(n=1,+¥)an и å(n=1,+¥)bn сх-ся и l-число, то å(n=1,+¥)(an+bn) сх-ся и å(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=å(k=1,n)ak, Bn=åk=1nbk; A=limn®+¥An, B=limn®+¥Bn; $limn®+¥(An+Bn)=A+B, $limn®+¥lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда å(n=1,+¥)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.


#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда å(n=1..¥)an и å(n=1..¥)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no аn<bn те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход å(к=no+1..¥)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0 такое что Bn<M "n An<=Bn<=M => å(k=no+1..¥)ak сх-ся =>å(k=1..¥)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®¥) an/bn =k то; 1).0<=k<+¥ из сход åbn следует сходимость åan; 2).0<k<=+¥ из расх åbn следует расходимость åan {док-во} если 0<=к<+¥ => e=1 $ no такое что при n>no an/bn<k+e =k+1 => an<(n+1)bn "n>no => из сх åbn следует сходимость åan => åaк сходится 0<к<=+¥ e=к/2 (к<+¥) и e=1 к=+¥ $ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+¥) an/bn>1; k=+¥ => при n>no аn>(k/2)bn (k<+¥) => из расход åbn =>åаn расх =>åак а>bn (k=+¥) Þ Утв.


14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп å сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд åаn сход то lim(n®¥)an=0 док-во если ряд åan сх то $ lim(n®¥)Sn=S=lim(n®¥)S(n-1) тогда lim(n®¥)an = lim(n®¥)(Sn-S(n-1)) = lim(n®¥)Sn-lim(n®¥)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)an ó "e >0 $ ne такое что при n>ne и "рÎ Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} å(n=1..¥)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 Þ 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e Þ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) Þ {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k Þ Sn<S2kÞ ряд сход.



13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlimh®0h=0; 3)f(x)=xn, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xn=xn-1×x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки Þ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a¹1 непрерывна на (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.



12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хÎ [a,b] "уÎ[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0Î[A,B] Þ x0=j(y0), f(x0)=y0 x0Î(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]Ì[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "yÎ(y1,y2)Þx=j(y)Î(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] Þ мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "уÎ(у1,у2) соответсвует j(y)Î(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Þ ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Þ х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "yÎ(y,y0] Þ x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) Þ ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.



11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "хÎ(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "хÎ(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.



10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b Î X , a<b A=f(a)¹f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ cÎ(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B Þ A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 Þ по теореме Больцана –Каши $ сÎ(a,b) | j(c)=0 Þ f(c)-C=0Þ f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b Î[a,b] | f(a)=minf(x) xÎ[a,b]; f(b)=maxf(x) xÎ[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x Î[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХÎRn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’ÎX,r(x’,x’’)<dÞ|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’ÎR, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.



6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®¥)f(x) Û f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В¹0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "хÎ U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "хÎU(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "хÎU(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"хÎU(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "хÎU(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "хÎU(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"хÎU(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)£f(x)£Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 Þ $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 Þ A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 Þ A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)Þ "x 0<|x-a|<d Þ A-E<j(x)£f(x)£j(x)<A+EÞ |f(x)-A|<E


#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть $limx®af(x)=A $limy®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)¹А тогда $limx®ag(f(x))=limy®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ limy®Ag(y)=B Þ $s>0 |"y , 0<|y-A|<s Þ|g(y)-B|<E т.к. $ limx®af(x)=A Þдля Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d Þ 0<|f(x)-A|<s Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |g(x)-B|<E $limx®ag(f(x))=B=limy®Ag(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если $ C>0 | |f(x)|£C(g(x)) "x Î E f(x)=O(1) на E Þ f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 | |f(x)|£C "xÎE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 x²=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)¹0 (x¹a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 Þ $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)Þ f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 Þ f(x)/g(x)=1+E(x) Þ limx®af(x)/g(x)=1 Þ f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)¹0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x®a

№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для "e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/<d /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limx®a+0f(x) (f(a-0)=limx®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а $ f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)¹0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "xÎU(a,g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "xÎU(ag) при f(a)<0 {Док-во} возьмем e =/f(a)//2>0 тогда $ d>0 такое что "xÎU(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2 f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=> "xÎU(ag) f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> "xÎU(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд


5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)|<E Þ limx®af(x)=¥ {O limx®af(x)=+¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-¥} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®¥f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®¥f(x)=¥} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) Þ |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d Þ |f(x)-A|<e Þ f(x)ÎU(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 Þ |f(x)-B|<e Þ f(x)ÎU(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)ÎU(A;E), f(x)ÎU(B;E) Þ Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 Þ |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)¥ {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 Þ $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d Þ |f(x)|>1/E Þ 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d Þ 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 Þf(x)¹0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)Þ при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)¹0, |f(x)|<1/E Þ 1/f(x)>E Þ 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 Þ |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2Þ |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) Þ "x 0<|x-a|<d Þ |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e Þ limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ÎU(a,d1)Þ |g(x)|<m "e>0 Þ $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 Þ |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) Þ "x, 0<|x-a|<d Þ |f(x)g(x)|=|f(x)|×|g(x)|<em/m=e Þ limx®af(x)g(x)=0



4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN£bN£cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN£bN£cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bNÎ(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN£yN, тогда x£y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0’, n0”} хNÎ(х-Е,х+Е) & уNÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.



3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.



2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "yÎY g(y)=x где хÎХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)



1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xÎR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "xÎX $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 Û x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,yÎX; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ÎX в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у



Список

1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn.

2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры. 53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
56. Интегральный признак сходимости ряда.


53 Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв.


#54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -?<a<b?+? {T1} Пусть f(x)?0 "x?[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл a?bf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы a?hf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | a?hf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если a?bg(x)dx- сходится, ? сходится и a?bf(x)dx Если a?bg(x)dx – расход ? a?bf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 то? существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. a?bg(x)dx –сход ? a?bf(x)dx – сх ? по Т1?"h,(h0,b) h0?hg(x)dx?M(M=const) ? " x?(h0,b) h0ohf(x)dx?C h0ohg(x)dx?CM ? все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-сх?aobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход ?aobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)?0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0?k<+? из сходимости aobg(x)dx ? сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k?+? из расходимости aobg(x)dx ? расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0?k<+? aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0?k<+? По определению предела для E=1 $(h0,b) | " x?(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 ? k-1<f(x)/g(x)<k+1 ? т.к. g(x)?0 ? f(x)<(k+1)?g(x) ?f(x)=o(g(x)), x®b-0 ? по Т2 ?если aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k?+? тогда по опред предела для E={1 при k=+? {k/2 при k<+? ? $ (h0,b) | " x?(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+? |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+? ? при к=+? g(x)<f(x); при k<+? f(x)/g(x)>k/2 ? g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 ? по Т2 ? если aobg(x)dx –расход ?aobf(x)dx –расх.

#55aobf(x)dx-называется абс. сход если сходится aob |f(x)|dx Если aobf(x)dx-сх , а aob |f(x)| dx – расх то aobf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aob |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’ob’’ |f(x)| dx?| b’ob’’ f(x)dx т. е. для интеграла aobf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aob’f(x)dx|? aob’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aob f(x)dx получим |aob f(x)dx|? aob |f(x)| dx {Глав зн не соб ?}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -?o+?f(x)dx называется v.p. ?o+?f(x)dx=limh®+? -ho+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением ?o+? по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ? наз v.p. aobf(x)dx=limE®0 (aoC-Ef(x)dx +C+Eobf(x)dx)

#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+?) Тогда ?(n=1,+?)f(n) и 1?+?f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+?) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]?[1,+?) ? т.к. ф-ция не возрастает на [1,+?) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 ? k?k+1f(x)dx>=k?k+1f(k+1)dx ? f(k)>= k?k+1f(x)dx>=f(k+1) ? ?(k=1,n)f(k){=Sn}>=?(k=1,n){= 1?n+1f(x)dx} k?k+1f(x)dx>=?(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1?n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1?+?f(x)dx сх ? $M>0 | "h?[1;+?) 1?hf(x)dx<=M ? Sn+1-f(1)<= 1?n+1f(x)dx<=M ? Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху ? ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1?n+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого h?[1,+?) $n ? N | h<=n 1?nf(x)dx<= 1?hf(x)dx+ h?n+1f(x)dx= 1?n+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1?+?f(x)dx-сход. ЧТД


52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-?A B-?B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 ?A и ?B ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ?; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)?0 "x?[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?mi=inff(x)} Git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?Mi=supf(x)}; Sgt=?i=1itmiDxi; SGt=?i=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. ? по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)?0 "j?[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?mi=inff(j)} Git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезке? Площадь сектора git=m?iDj/2 и Git=M?iDj/2; Sgt=1/2??i=1itm?iDj SGt=1/2??i=1itM?iDj по критерии итегрируемости ? lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2? aotf?(j)dj? P-квадрируема и Sp=1/2? aobf?(j)dj.



51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"t?[a;b] j(t)?[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))?j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))?j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))?j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках ? оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))?j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)?v’(x)+u’(x)?v(x))dx= aobu(x)?v’(x)dx+ aobu’(x)?v(x)dx откуда ? aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx



49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]?тогда она интегрируема на отр[a,x] при a?x?b по св-ву опред ? ? F(x)= aoxf(t)dt, x?[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x?[a,b] x+Dx?[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] ?$ C>0. |f(x)|?С "x?[a,b]?|DF|=|xox+Dxf(t)dt|?С?| xox+Dxdt|=С|Dx| ?limDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ?[a,b] ? F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0?[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+Dx?[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ? x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|?1/|Dx|?| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dE?|f(x)?f(x0)|<E Пусть |Dx|<EE?"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|?|Dx|+d? |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|?1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|?E? xox0+Dxdt|=E ? $limDx®0DF/Dx=f(x0)?F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.


№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aobf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. ? (1) {Док-во} F(x)= aoxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aoxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aoаf(t)dt=0 ? 0=Ф(а)+С? С=-Ф(а)? aoxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.


48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "х?[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m?m?M и aobf(x)g(x)dx=m?aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m?f(x)?M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 ? рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx?0 ? при g(x)?0 aobg(x)dx>0, а при g(x)?0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m?aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx?M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx ? получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует x?[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)?aobg(x)dx



47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению а?a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред b?af(x)dx=-a?bf(x)dx {Св-во1} a?bdx=b-a действительно ф-ция f(x)?1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1?st=?i=1itf(xi)Dxi=?i=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a ? lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: a?b(f(x)+g(x))dx= a?bf(x)dx+ a?bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xi?[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=?i=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=?iti=1f(xi)Dxi+?iti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=a?bf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=a?bg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство a?b(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l?f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] ?[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " x?[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "х?[a,b] f(x)?0 тогда? aobf(x)dx?0



46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xi?[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=?I=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ? ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a?bf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xi?[xi-1,xi], I=1,…,it | ?I=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®?f(xnjo)=? Рассмотрим сумму st=?I=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +?I=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xi?[xi-1,xi] i?jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=? m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда ?, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0st?"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<E?|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M ?ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.



45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация ?R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg?(x/2))=2t/(1+t?), cosx=(1-tg?(x/2))/(1+tg?(x/2))=(1-t?)/(1+t?), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t?), ? ?R(cosx,sinx)dx=?R(1-t?)/(1+t?),2t/(1+t?))?2dt/(1+t?)= ?R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).



44 Ф-цию вида R(x,m?(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m?(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)? ? ?R(x,m?(ax+b)/(cx+d))dx=?R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)?=?R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида ?R(x,?ax?+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax?+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,?ax?+bx+c)=R(x,(x-x1)?(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,?(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax?+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=?(ax?+bx+c) +x?a ?ax?+bx+c=t?-2xt?a+ax?; x=(t?-c)/2t(?a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax?+bx+c)>=0) то можно сделать замену ?ax?+bx+c=xt+?c {}{}



43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1?…?(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)?Pn(z)=(z-a)m?Qn-m(z)? a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)?Pn(x) x?R По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом? Pn(x)=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x-z1)b1?…?(x-zs)bs?(x-zs)bs=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q1)b1?…?(x?+psx+qs)bs; Pj?/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,ar?R, Pj,qj?R {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m?Q1(x), Q1(a)?0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,A?R такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1?Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b?0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x?+px+q)m?Q1(x), Q1(z1)?0, p?/4-q<0; то сущ M и N?R и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x?+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x?+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x?+px+q)m=(Mx+N)/(x?+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x?+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A?(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q)?(x?+psx+qs)ps, a1,…,ar?R,p1q1..psqs?R, P?j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x?+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x?+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x?+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x?+psx+qs). ; {}Из этого следует что? от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.?Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.?Adx/(x-a)m=A?(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)=(M/2)ln(x?+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)m=M/2(1-m)(x?+px+q)m-1+(N-MP/2)?dt/(t?+a?)m



42 Метод замены переменой в неоп?: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда ?f(x)dx=?f(j(t))j’(t)dt+C=?f(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует ?U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл ?V(x)?U’(x)dx=U(x)?V(x)-?U(x)?V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U?V)’=U’V+UV’?U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл ?UV’dx по условию Если $ ?(UV)’dx=UV+C то $?U’Vdx=?(UV)’dx-?UV’dx=UV-?UV’dx+C ? производную постоянную к ?U’Vdx=UV-?UV’dx; Пример ?exsinxdx=exsinx-?excosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-?exsinxdx); ?exsinxdx=exsinx-excox-?exsinxdx; 2?exsinxdx=exsinx-excosx? ?exsinxdx=(exsinx-excosx)/2



41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается ?f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то ?f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то ?F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(?f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ?(f1(x)+f2(x))dx=?f1(x)dx+?f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то ?f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a?aF’(ax+b)=f(ax+b);



40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) ?(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)?F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2?X ?по теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) ?y(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.



39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+? Аналогично при х®-?{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/?(1+a?) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+?r(x)=0? limx®+?(f(x)-ax-b)=0? limx®+?(f(x)/x-a-b/x)=0? limx®+?(f(x)/x-a)=0? a= limx®+?f(x)/x ; b= limx®+?(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+?f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+? нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=? limx®х0+0f(x)=? то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.



38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ?X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0?x>x1?x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0?x1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) ? f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 ?f’(x)<=f’(x2)? производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) ? выполнено нер-во 1 ? ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) ? f’ – возрастает(убывает) ? f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)?/2!+a(x)(x-x0)?, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)?/2! ; Если предположить что f’’(x)?0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) ? при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию ? f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 ?(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ? Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак ? х0-т. перегиба.



37{Т}Пусть (?) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум ? $ U(x0,d) | " x?U(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)? по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " x?(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " x?(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x?(d,x0+d); f’(x)>0,a для x?(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x?(x0-d,x0) f’(x)<0, а для x?(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x?(x0-d,x0) f’(x)>0 для x?(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 ? x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0?Df<0. Если х<x0 ? x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0?Df>0 ? f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично



36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0?(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) ? Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) ? f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " x?(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)? f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)? f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) ? ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x?(a,b) (f’(x)<0,x?(a,b))?f’(c)>0 (f’(c)<0)?f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)



35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x?/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x?/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)?, f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1?(k-1)! Подставим в формулу Тейлора ? l(1+x)=x-x?/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b?x+b(b-1)x?/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0



34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х?(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2?A2+3?2?A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n?(n-1)?(n-2)?…?An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)?/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (?) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 ?rn(x)=o((x-x0)n),x®x0



33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)?0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)?$ l?(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a ? c®a ? limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+?) c>0 ; 2) limx®+?f(x)=limx®a+?g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+?) g’(x)?0 ;4)$ limx®a+?f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+?f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+??t®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k ?по т1 limx®a+?f(x)/g(x)= limx®a+?f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+?; limx®a+0g(x)=+?; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k



32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)?0 в (а, b), то существует точка c?(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)


Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)?0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))?(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c?(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))?g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.


31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ? существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x?(a,b) и F(a)=0=F(b) ? по теореме Ролля $ с?(a,b) | F’(c)=0 ? f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0


Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с?(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))


30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c?0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c?(a, b) производная f'(c)=0.


Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1? [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2?[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х?(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.


29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "x?U(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.



28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)?t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)?0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0?t’x|x=x0=y’’tt(t0)?x’t(t0)-y’t(t0)?xtt’’(t0)/(x’t(t0))



27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d?y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx?; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =?k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!?(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = ?k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.



26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)?u’(x)/u(x); y’=uv?(v’lnu+v?u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0?limDx®0Dy/Dx?(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/?1-x? 6)(arccosx)’=-1/?(1-x?) 7) (arctgx)’=1/(1+x?) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x?) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a?xa-1



25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)?0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)?0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x?x0®y?y0?Dx?0® Dy?0? Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0?Dx®0?Dy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)?0?j’(y0)=1/f’(x0)



23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U?V)=(U?V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V?=(U'Vdx-V’Udx)/V?=(Vdu-Udv)/V?


№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x)  дифф. в точке х0 .   y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’y?y’x=f’(y)?j’(x) ; dz/dx=dz/dy ? dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ?Dz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ?Dy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке ? (Dx®0?Dy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0t?Dt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)?b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/Dy? limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0? (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0)


21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)? Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)?Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)Dx? limDx®0Dy=0 ? в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+Dx?U(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 ? Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx?Dy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 ? Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)Dx? Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 ? ф-ция f- дифференцируема в т. х0


№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+Dx?(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 ?|M0M|=?(Dx?+Dy?)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) ? уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) ? касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1?(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали


20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®?zn? "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=?((xn-x0)?+(yn-y0)?)? |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| ? при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e ? по опр. limn®?Xn=x0 а limn®?yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды ?(n=1,+?)xn и ?(n=1,+?)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=?(k=1,n)xk+i?(k=1,n)yk и если ряд ?(n=1,+?)zn –сх то limn®+?zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn ? т.к. ?(n=1,+?)zn –сх ? ?(n=1,+?)xn сх и ?(n=1,+?)уn –сх ? limn®+?xn=limn®+?yn=0 ?limn®+?zn=limn®+?xn+ilimn®+?yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть ?(n=1,+?)zn –абс сход ? ?(n=1,+?)|zn| -сх ? Т.к. |xn|<=?(x?n+yn?)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) ? по признаку сравнения ?(n=1,+?)|xn| -cх и ?(n=1,+?)|yn| -сх ? ?(n=1,+?)xn –сх и ?(n=1,+?)уn-сх ? ?(n=1,+?)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть ?(n=1,+?)|xn| и ?(n=1,+?)|уn| сх |zn=?(xn?+yn?)<= ?(yn?+2|xn||yn|+yn?) <= ?(|xn|+|yn|)?=|xn|+|yn| то по признаку сравнения ?(n=1,+?)|zn| - cх-ся.



19 Ряд ?n=1?an –наз абс сход если сход ряд ?|an|. Если ?an – cх а ?|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ?n=1+?an -абс сх ? ?n=1+?|аn| -сх-ся ? по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "p?Z p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e ? по критерию Коши ? ?n=1+?an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ?n=1+?an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ?n=1+?an и ?n=1+?bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ?n=1+?an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+?|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности an?|an|; k=limn®+? n?|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх.



18 {O} Знакопеременными рядами называют ?n=1+?(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд ?(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®?)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®?)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®?)S2k+1=lim(k®?)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®?)Sn=lim(n®?)S2k = lim(k®?)S2k+1=S {Док-ть самим}


{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю


17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} ?an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. ?(n=1,+?)qn-1 cх-ся как бесконечная => ?(n=1,+?)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®?)an?0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+?an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1?$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1? ?(k=n0+1,+?)ak –сх-ся ? ?n=1+?an сх-ся. Пусть k>1; k<+? e>0 | k-e>1 ? $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 ? ?n=1+?an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд ?an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход



15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.


#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда ?(n=1..?)an и ?(n=1..?)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no аn<bn те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход ?(к=no+1..?)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0 такое что Bn<M "n An<=Bn<=M => ?(k=no+1..?)ak сх-ся =>?(k=1..?)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®?) an/bn =k то; 1).0<=k<+? из сход ?bn следует сходимость ?an; 2).0<k<=+? из расх ?bn следует расходимость ?an {док-во} если 0<=к<+? => e=1 $ no такое что при n>no an/bn<k+e =k+1 => an<(n+1)bn "n>no => из сх ?bn следует сходимость ?an => ?aк сходится 0<к<=+? e=к/2 (к<+?) и e=1 к=+? $ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+?) an/bn>1; k=+? => при n>no аn>(k/2)bn (k<+?) => из расход ?bn =>?аn расх =>?ак а>bn (k=+?) ? Утв.


14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп ? сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд ?аn сход то lim(n®?)an=0 док-во если ряд ?an сх то $ lim(n®?)Sn=S=lim(n®?)S(n-1) тогда lim(n®?)an = lim(n®?)(Sn-S(n-1)) = lim(n®?)Sn-lim(n®?)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда ?(n=1,?)an ? "e >0 $ ne такое что при n>ne и "р? Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} ?(n=1..?)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 ? 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 ? для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e ? ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) ? {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k ? Sn<S2k? ряд сход.



13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h ?limh®0h=0; 3)f(x)=xn, n?N –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций ? по индукции xn=xn-1?x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "x?R, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.?(OB,ox)=?x; ?(OB’,ox)=?x 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки ? |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx ? 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 ? |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a?1 непрерывна на (0,+?) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.



12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "х? [a,b] "у?[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0?[A,B] ? x0=j(y0), f(x0)=y0 x0?(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]?[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "y?(y1,y2)?x=j(y)?(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] ? мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "у?(у1,у2) соответсвует j(y)?(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e ? ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В ? х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "y?(y,y0] ? x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) ? ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.



11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "х?(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "х?(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.



10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b ? X , a<b A=f(a)?f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ c?(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B ? A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 ? по теореме Больцана –Каши $ с?(a,b) | j(c)=0 ? f(c)-C=0? f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b ?[a,b] | f(a)=minf(x) x?[a,b]; f(b)=maxf(x) x?[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x ?[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве Х?Rn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’?X,r(x’,x’’)<d?|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’?R, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.



6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®?)f(x) ? f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В?0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "х? U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "х?U(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "х?U(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"х?U(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "х?U(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "х?U(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"х?U(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)?f(x)?Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 ? $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 ? A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 ? A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)? "x 0<|x-a|<d ? A-E<j(x)?f(x)?j(x)<A+E? |f(x)-A|<E


#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть $limx®af(x)=A $limy®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)?А тогда $limx®ag(f(x))=limy®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ limy®Ag(y)=B ? $s>0 |"y , 0<|y-A|<s ?|g(y)-B|<E т.к. $ limx®af(x)=A ?для Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d ? 0<|f(x)-A|<s ? "x, 0<|x-a|<d ? |g(x)-B|<E $limx®ag(f(x))=B=limy®Ag(y)

#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если $ C>0 | |f(x)|?C(g(x)) "x ? E f(x)=O(1) на E ? f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 | |f(x)|?C "x?E Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 x?=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)?0 (x?a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 ? $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)? f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 ? f(x)/g(x)=1+E(x) ? limx®af(x)/g(x)=1 ? f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)?0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x®a

№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для "e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/<d /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limx®a+0f(x) (f(a-0)=limx®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а $ f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)?0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "x?U(a,g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "x?U(ag) при f(a)<0 {Док-во} возьмем e =/f(a)//2>0 тогда $ d>0 такое что "x?U(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2 f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд


5 {О пределах ф-ции}

{О пределах ф-ции}
Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=?} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d ? |f(x)|<E ? limx®af(x)=? {O limx®af(x)=+?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®?f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®?f(x)=?} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) ? |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d ? |f(x)-A|<e ? f(x)?U(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 ? |f(x)-B|<e ? f(x)?U(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)?U(A;E), f(x)?U(B;E) ? Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 ? |f(x)|=|f(x)-A+A|?|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)? {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 ? $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d ? |f(x)|>1/E ? 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d ? 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 ?f(x)?0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)? при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)?0, |f(x)|<1/E ? 1/f(x)>E ? 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 ? |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2? |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) ? "x 0<|x-a|<d ? |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e ? limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ?U(a,d1)? |g(x)|<m "e>0 ? $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 ? |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) ? "x, 0<|x-a|<d ? |f(x)g(x)|=|f(x)|?|g(x)|<em/m=e ? limx®af(x)g(x)=0


4послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN?bN?cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN?bN?cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN?(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)?(х-Е,х+Е)=?. "n>max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е) & уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.



3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.



2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "y?Y g(y)=x где х?Х такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)



1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ x?R'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "x?X $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 ? x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,y?X; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ?X в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у



56


{Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+?) Тогда ?(n=1,+?)f(n) и 1?+?f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+?) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]?[1,+?) ? т.к. ф-ция не возрастает на [1,+?) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 ? k?k+1f(x)dx>=k?k+1f(k+1)dx ? f(k)>= k?k+1f(x)dx>=f(k+1) ? ?(k=1,n)f(k){=Sn}>=?(k=1,n){= 1?n+1f(x)dx} k?k+1f(x)dx>=?(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1?n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1?+?f(x)dx сх ? $M>0 | "h?[1;+?) 1?hf(x)dx<=M ? Sn+1-f(1)<= 1?n+1f(x)dx<=M ? Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху ? ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1?n+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого h?[1,+?) $n ? N | h<=n 1?nf(x)dx<= 1?hf(x)dx+ h?n+1f(x)dx= 1?n+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1?+?f(x)dx-сход. ЧТД


55


aobf(x)dx-называется абс. сход если сходится aob |f(x)|dx Если aobf(x)dx-сх , а aob |f(x)| dx – расх то aobf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aob |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’ob’’ |f(x)| dx?| b’ob’’ f(x)dx т. е. для интеграла aobf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aob’f(x)dx|? aob’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aob f(x)dx получим |aob f(x)dx|? aob |f(x)| dx {Глав зн не соб ?}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -?o+?f(x)dx называется v.p. ?o+?f(x)dx=limh®+? -ho+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением ?o+? по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ? наз v.p. aobf(x)dx=limE®0 (aoC-Ef(x)dx +C+Eobf(x)dx)




54


Будем считать что f(x) определён на [a,b) -?<a<b?+? {T1} Пусть f(x)?0 "x?[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл a?bf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы a?hf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | a?hf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если a?bg(x)dx- сходится, ? сходится и a?bf(x)dx Если a?bg(x)dx – расход ? a?bf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 то? существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. a?bg(x)dx –сход ? a?bf(x)dx – сх ? по Т1?"h,(h0,b) h0?hg(x)dx?M(M=const) ? " x?(h0,b) h0ohf(x)dx?C h0ohg(x)dx?CM ? все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-сх?aobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход ?aobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)?0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0?k<+? из сходимости aobg(x)dx ? сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k?+? из расходимости aobg(x)dx ? расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0?k<+? aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0?k<+? По определению предела для E=1 $(h0,b) | " x?(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 ? k-1<f(x)/g(x)<k+1 ? т.к. g(x)?0 ? f(x)<(k+1)?g(x) ?f(x)=o(g(x)), x®b-0 ? по Т2 ?если aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k?+? тогда по опред предела для E={1 при k=+? {k/2 при k<+? ? $ (h0,b) | " x?(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+? |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+? ? при к=+? g(x)<f(x); при k<+? f(x)/g(x)>k/2 ? g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 ? по Т2 ? если aobg(x)dx –расход ?aobf(x)dx –расх.




53


Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв.




52


(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-?A B-?B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0 ?A и ?B ® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ?; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)?0 "x?[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}i=0i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?mi=inff(x)} Git={(x,y), x?[xi-1,xi], 0?y?Mi=supf(x)}; Sgt=?i=1itmiDxi; SGt=?i=1itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim|t|®0(Sgt-SGt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. ? по критерию итегрируемости lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S= aobf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)?0 "j?[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?mi=inff(j)} Git={(j,r), j?[ji-1,ji], 0?r?Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезке? Площадь сектора git=m?iDj/2 и Git=M?iDj/2; Sgt=1/2??i=1itm?iDj SGt=1/2??i=1itM?iDj по критерии итегрируемости ? lim|t|®0SGt= lim|t|®0Sgt=S=1/2? aotf?(j)dj? P-квадрируема и Sp=1/2? aobf?(j)dj.




51


{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"t?[a;b] j(t)?[a,b]; Тогда aobf(x)dx = aobf(j(t))?j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))?j’(t) на [a,b] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aobj(x)dx = aobj(j(t))?j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках ? оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aobf(x)dx =F(b)-F(a); aobf(j(t))?j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= aobf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aob (u(x)?v’(x)+u’(x)?v(x))dx= aobu(x)?v’(x)dx+ aobu’(x)?v(x)dx откуда ? aobu’(x)?v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu(x)v’(x)dx




49


Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]?тогда она интегрируема на отр[a,x] при a?x?b по св-ву опред ? ? F(x)= aoxf(t)dt, x?[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x?[a,b] x+Dx?[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] ?$ C>0. |f(x)|?С "x?[a,b]?|DF|=|xox+Dxf(t)dt|?С?| xox+Dxdt|=С|Dx| ?limDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 ?[a,b] ? F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0?[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+Dx?[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ? x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|?1/|Dx|?| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dE?|f(x)?f(x0)|<E Пусть |Dx|<EE?"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|?|Dx|+d? |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|?1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|?E? xox0+Dxdt|=E ? $limDx®0DF/Dx=f(x0)?F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.



№50

Ф-ла Ньтона-Лейбница aobf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. ? (1) {Док-во} F(x)= aoxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aoxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aoаf(t)dt=0 ? 0=Ф(а)+С? С=-Ф(а)? aoxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.




48


{T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "х?[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m?m?M и aobf(x)g(x)dx=m?aobg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m?f(x)?M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x) при g(x)?0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; maobg(x)dx?aobf(x)g(x)dx?Maobg(x)dx при g(x)?0; Если aobg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aobf(x)g(x)dx=0 ? рав-во aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx выполнено при любом m; Пусть aobg(x)dx?0 ? при g(x)?0 aobg(x)dx>0, а при g(x)?0 aobg(x)dx<0; Разделим нер-ва на aobg(x)dx в обоих случаях получим : m?aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx?M; Пологая m=aobf(x)g(x)dx/aobg(x)dx ? получаем утверждение теоремы aobf(x)g(x)dx=maobg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует x?[a,b] такое, что aobf(x)g(x)dx=f(x)?aobg(x)dx




47


{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению а?a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред b?af(x)dx=-a?bf(x)dx {Св-во1} a?bdx=b-a действительно ф-ция f(x)?1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xi f(xi)=1?st=?i=1itf(xi)Dxi=?i=1itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-a ? lim|t|®0st=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: a?b(f(x)+g(x))dx= a?bf(x)dx+ a?bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=it i=o xi?[xi-1,xi] ,тогда sE(f+g)=?i=1it(f(xi)+g(xi)Dxi=?iti=1f(xi)Dxi+?iti=1g(xi)Dxi=st(f)+st(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim|t|®0st(f)=a?bf(x)dx; $lim|t|®0st(g)=a?bg(x)dx ; $lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство a?b(f(x)+g(x))dx=lim|t|®0st(f+g)=a?bf(x)dx+a?bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l?f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aoblf(x)dx=laobf(x)dx {Св-во 4} Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: aobf(x)dx=aoсf(x)dx+сobf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] ?[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($ M>0 | " x?[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "х?[a,b] f(x)?0 тогда? aobf(x)dx?0




46


{O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xi?[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)=?I=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ? ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a?bf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xi?[xi-1,xi], I=1,…,it | ?I=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xnjo}>0 | limn®?f(xnjo)=? Рассмотрим сумму st=?I=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +?I=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xi?[xi-1,xi] i?jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=? m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда ?, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0st?"E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi выполняется нер-во |dt-I|<E?|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I| ; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M ?ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.




45


Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация ?R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p<x<p), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg?(x/2))=2t/(1+t?), cosx=(1-tg?(x/2))/(1+tg?(x/2))=(1-t?)/(1+t?), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t?), ? ?R(cosx,sinx)dx=?R(1-t?)/(1+t?),2t/(1+t?))?2dt/(1+t?)= ?R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).




44


Ф-цию вида R(x,m?(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m?(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)? ? ?R(x,m?(ax+b)/(cx+d))dx=?R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)?=?R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида ?R(x,?ax?+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax?+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,?ax?+bx+c)=R(x,(x-x1)?(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,?(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax?+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=?(ax?+bx+c) +x?a ?ax?+bx+c=t?-2xt?a+ax?; x=(t?-c)/2t(?a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax?+bx+c)>=0) то можно сделать замену ?ax?+bx+c=xt+?c {}{}




43


По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1?…?(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)?Pn(z)=(z-a)m?Qn-m(z)? a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)?Pn(x) x?R По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом? Pn(x)=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x-z1)b1?…?(x-zs)bs?(x-zs)bs=(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q1)b1?…?(x?+psx+qs)bs; Pj?/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,ar?R, Pj,qj?R {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)<degQ(x) Сущ а –корень кратности м многочлена Q(x), Q(x)=(x-a)m?Q1(x), Q1(a)?0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,A?R такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1?Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)<degQ(x) z1=a+ib, b?0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x?+px+q)m?Q1(x), Q1(z1)?0, p?/4-q<0; то сущ M и N?R и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x?+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x?+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x?+px+q)m=(Mx+N)/(x?+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x?+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)<degQ(x) и для Q(x) имеет место Q(x)=A?(x-a1)a1?…?(x-ar)ar?(x?+p1x+q)?(x?+psx+qs)ps, a1,…,ar?R,p1q1..psqs?R, P?j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа Ai(j), I=1,..,r; j=1,…,aI Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,bI; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)a1+..+A1(a1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)a2+…+A2(a2)/(x-a2)a2+(M1(1)x+N1(1))/(x?+p1x+q1)b1+…+(M1(b1)x+N1(b1))/(x?+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x?+ps+qs)bs+…+(Ms(b)x+Ns(bs))/(x?+psx+qs). ; {}Из этого следует что? от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.?Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.?Adx/(x-a)m=A?(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)=(M/2)ln(x?+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.?(Mx+N)dx/(x?+px+q)m=M/2(1-m)(x?+px+q)m-1+(N-MP/2)?dt/(t?+a?)m




42


Метод замены переменой в неоп?: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда ?f(x)dx=?f(j(t))j’(t)dt+C=?f(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует ?U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл ?V(x)?U’(x)dx=U(x)?V(x)-?U(x)?V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U?V)’=U’V+UV’?U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл ?UV’dx по условию Если $ ?(UV)’dx=UV+C то $?U’Vdx=?(UV)’dx-?UV’dx=UV-?UV’dx+C ? производную постоянную к ?U’Vdx=UV-?UV’dx; Пример ?exsinxdx=exsinx-?excosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-?exsinxdx); ?exsinxdx=exsinx-excox-?exsinxdx; 2?exsinxdx=exsinx-excosx? ?exsinxdx=(exsinx-excosx)/2




41


{O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается ?f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то ?f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то ?F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(?f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ?(f1(x)+f2(x))dx=?f1(x)dx+?f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то ?f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a?aF’(ax+b)=f(ax+b);




40


{O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) ?(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)?F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2?X ?по теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) ?y(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.




39


Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+? Аналогично при х®-?{}Найдём расстояние до пр L r(x)=|f(x)-ax-b|/?(1+a?) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx®+?r(x)=0? limx®+?(f(x)-ax-b)=0? limx®+?(f(x)/x-a-b/x)=0? limx®+?(f(x)/x-a)=0? a= limx®+?f(x)/x ; b= limx®+?(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx®+?f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+? нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limx®х0-0f(x)=? limx®х0+0f(x)=? то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.




38


Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ?X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где " q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x1<x2) q1>0,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0?x>x1?x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0?x1<x<x2{Зам}y=f(x)-выпккла(вогнута) тогда для "х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)<=(>=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) ? f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2) x®x1 ?f’(x)<=f’(x2)? производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) ? выполнено нер-во 1 ? ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) ? f’ – возрастает(убывает) ? f’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)?/2!+a(x)(x-x0)?, a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)?/2! ; Если предположить что f’’(x)?0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) ? при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию ? f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 ?(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 ? Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак ? х0-т. перегиба.




37


{Т}Пусть (?) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум ? $ U(x0,d) | " x?U(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)? по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $ d>=0 | " x?(x0,x0+d] f’(x)<0 (or f’(x)>0), а " x?(x0-d,x0] f’(x)<0 (or f”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для x?(d,x0+d); f’(x)>0,a для x?(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для x?(x0-d,x0) f’(x)<0, а для x?(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x?(x0-d,x0) f’(x)>0 для x?(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 ? x-x0>0 x0<x<x , f’(x)<0?Df<0. Если х<x0 ? x-x0<0, x<x<x0, f’(x)>0?Df>0 ? f(x)<f(x0) x0-макс x-min –аналогично




36


Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0?(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) ? Dy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) ? f’(x0)=limDx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть " x?(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0) a<x1<x2<b по теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1), x1<c<x2; Т.к. x2-x1>0, f’(c)>=0 (f’(c)<=0)? f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)? f(x2)>=f(x1) (f(x2)<=f(x1)) ? ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x?(a,b) (f’(x)<0,x?(a,b))?f’(c)>0 (f’(c)<0)?f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)




35


Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x?/2!+…+xn/n!+o(xn), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x®0; cosx=1-x?/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)?, f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1?(k-1)! Подставим в формулу Тейлора ? l(1+x)=x-x?/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)b f(0)=1, f’(x)=b(1+x)b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)b-2; f(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)b-k ;f(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)b=1+b?x+b(b-1)x?/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xn/n!+o(xn), x®0




34


Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х?(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)?/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2?A2+3?2?A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n?(n-1)?(n-2)?…?An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)?/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в (?) x0 то limx®x0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limx®x0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limx®x0rn(x)/(x-x0)n= limx®x0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limx®x0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 ?rn(x)=o((x-x0)n),x®x0




33


Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=limx®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a<c<x ; g(x)?0 ( т.к. если g(x)=0=g(0)?$ l?(a,x) g’(l)=0-это не возможно по условию. Если x®a ? c®a ? limx®a+0f(x)/g(x)= limx®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+?) c>0 ; 2) limx®+?f(x)=limx®a+?g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+?) g’(x)?0 ;4)$ limx®a+?f’(x)/g’(x)=k Тогда limx®a+?f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+??t®0 по условию 2) limt®0f(1/x)= limt®0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt®0f’(1/t)/g’(1/t)=k ?по т1 limx®a+?f(x)/g(x)= limx®a+?f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limx®a+0f(x)=+?; limx®a+0g(x)=+?; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’?0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limx®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда limx®a+0f(x)/g(x)=k




32


Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)?0 в (а, b), то существует точка c?(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)?0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))?(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c?(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))?g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.




31


Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с<b). Док-во: tga=k=(f(b)-f(a))/(b-a) ? существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x?(a,b) и F(a)=0=F(b) ? по теореме Ролля $ с?(a,b) | F’(c)=0 ? f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a<c<b) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой про­межуточной точке с абсциссой с?(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непре­рывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кри­вой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))




30


Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c?0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c?(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1? [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2?[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х?(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.




29


Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=limDx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "x?U(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dx откуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.




28


{Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)?t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)?0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0?t’x|x=x0=y’’tt(t0)?x’t(t0)-y’t(t0)?xtt’’(t0)/(x’t(t0))




27


{Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d?y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx?; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =?k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!?(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = ?k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.




26


{Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)?u’(x)/u(x); y’=uv?(v’lnu+v?u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const Dy=c-c=0?limDx®0Dy/Dx?(C)’=0 ; 2) y=sinx Dy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/?1-x? 6)(arccosx)’=-1/?(1-x?) 7) (arctgx)’=1/(1+x?) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x?) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (xa)’=a?xa-1




25


{Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)?0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)?0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x?x0®y?y0?Dx?0® Dy?0? Dy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limDx®0Dy=0?Dx®0?Dy®0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDy®01/Dy/Dx=1/limDy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)?0?j’(y0)=1/f’(x0)




23


Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U?V)=(U?V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V?=(U'Vdx-V’Udx)/V?=(Vdu-Udv)/V?



№24

{Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=j(x)  дифф. в точке х0 .   y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’y?y’x=f’(y)?j’(x) ; dz/dx=dz/dy ? dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 ?Dz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х0 ?Dy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке ? (Dx®0?Dy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); limDx®0t?Dt/Dx; limDx®0t(Dx)/Dx= limDx®0[f’(x0)?b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= limDx®0a(Dy)/Dx= limDx®0a(Dy)/Dy? limDx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где limDx®0t(Dx)/Dx=0? (f(j(x)))’x=z’x=f’(y0)j’(x0)




21


{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=limDx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ limDx®0Dy/Dx=f’(x0)? Dy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)?Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ? Dy=f’(x0)Dx+a(Dx)Dx? limDx®0Dy=0 ? в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+Dx?U(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 ? Dy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; limDx®0Dy/Dx= limDx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=limDx®0Dy/Dx?Dy/Dx=f’(x0)+e(Dx), limDx®0e(Dx)=0 ? Dy=f’(x0)Dx +e(Dx)Dx? Dy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 ? ф-ция f- дифференцируема в т. х0



№22

{Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+Dx?(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 ?|M0M|=?(Dx?+Dy?)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ limDx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=limDx®0k(Dx)= limDx®0Dy/Dx=f’(x0) ? уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) ? касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1?(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали




20


{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ ne | при n>ne вып |zn-z0|<e ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limn®?zn? "e>0 $ne | при n>ne =|zn-z0|<e Т.к. |zn-z0|=?((xn-x0)?+(yn-y0)?)? |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| ? при n>ne вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|<e ; |yn-y0|<=|zn-z0|<e ? по опр. limn®?Xn=x0 а limn®?yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды ?(n=1,+?)xn и ?(n=1,+?)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=?(k=1,n)xk+i?(k=1,n)yk и если ряд ?(n=1,+?)zn –сх то limn®+?zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn ? т.к. ?(n=1,+?)zn –сх ? ?(n=1,+?)xn сх и ?(n=1,+?)уn –сх ? limn®+?xn=limn®+?yn=0 ?limn®+?zn=limn®+?xn+ilimn®+?yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть ?(n=1,+?)zn –абс сход ? ?(n=1,+?)|zn| -сх ? Т.к. |xn|<=?(x?n+yn?)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) ? по признаку сравнения ?(n=1,+?)|xn| -cх и ?(n=1,+?)|yn| -сх ? ?(n=1,+?)xn –сх и ?(n=1,+?)уn-сх ? ?(n=1,+?)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть ?(n=1,+?)|xn| и ?(n=1,+?)|уn| сх |zn=?(xn?+yn?)<= ?(yn?+2|xn||yn|+yn?) <= ?(|xn|+|yn|)?=|xn|+|yn| то по признаку сравнения ?(n=1,+?)|zn| - cх-ся.




19


Ряд ?n=1?an –наз абс сход если сход ряд ?|an|. Если ?an – cх а ?|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд ?n=1+?an -абс сх ? ?n=1+?|аn| -сх-ся ? по критерию Коши "e>0 $ne| при n>ne и "p?Z p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|<=|an|+…+|an+p|<e ? по критерию Коши ? ?n=1+?an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если ?n=1+?an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды ?n=1+?an и ?n=1+?bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда ?n=1+?an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn®+?|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд an=1+?an- сход при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх {Т2} Если для посл-ности an?|an|; k=limn®+? n?|an|; при k<1 ряд an=1+?an-сх при k>1 ряд an=1+?an- расх.




18


{O} Знакопеременными рядами называют ?n=1+?(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд ?(-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n®?)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n<c1 $lim(n®?)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 =>$ lim(k®?)S2k+1=lim(k®?)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®?)Sn=lim(n®?)S2k = lim(k®?)S2k+1=S {Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю




17


{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} ?an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1qn-1 q<1 т.к. ?(n=1,+?)qn-1 cх-ся как бесконечная => ?(n=1,+?)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n®?)an?0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $limn®+?an+1/an=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1?$ n0 | n>n0 an+1/an<k+e{=q}<1? ?(k=n0+1,+?)ak –сх-ся ? ?n=1+?an сх-ся. Пусть k>1; k<+? e>0 | k-e>1 ? $n0 | при n>n0 an+1/an>k-e>1 ? ?n=1+?an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд ?an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $ lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход




16


{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда ?(n=1..?)an и ?(n=1..?)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no аn<bn те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход ?(к=no+1..?)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0 такое что Bn<M "n An<=Bn<=M => ?(k=no+1..?)ak сх-ся =>?(k=1..?)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®?) an/bn =k то; 1).0<=k<+? из сход ?bn следует сходимость ?an; 2).0<k<=+? из расх ?bn следует расходимость ?an {док-во} если 0<=к<+? => e=1 $ no такое что при n>no an/bn<k+e =k+1 => an<(n+1)bn "n>no => из сх ?bn следует сходимость ?an => ?aк сходится 0<к<=+? e=к/2 (к<+?) и e=1 к=+? $ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+?) an/bn>1; k=+? => при n>no аn>(k/2)bn (k<+?) => из расход ?bn =>?аn расх =>?ак а>bn (k=+?) ? Утв.




15


{Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.




14


{Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп ? сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд ?аn сход то lim(n®?)an=0 док-во если ряд ?an сх то $ lim(n®?)Sn=S=lim(n®?)S(n-1) тогда lim(n®?)an = lim(n®?)(Sn-S(n-1)) = lim(n®?)Sn-lim(n®?)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда ?(n=1,?)an ? "e >0 $ ne такое что при n>ne и "р? Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/<e; {} ?(n=1..?)1/n( в степ a) a >1 сход a<1 расход; na<=n Пусть a<=1 ? 1/na+1/(n+1)a+…+1/(2n-1)a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 ? для e=1/2 при " n $ p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|>e ? ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2a+(1/3a+1/4a)+(1/5a+1/6a+1/7a+1/8a)+…+(1/(2k-1+1)a+,,,+1/(2k)a); 1/(n+1)a+1/(n+2)a+…+1/(2n)a>1/na+1/na+1/na=n/na=1/na-1=1/ns<1+1/2a+1/2s/(1-1/2s) ? {S2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2k ? Sn<S2k? ряд сход.




13


{Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h ?limh®0h=0; 3)f(x)=xn, n?N –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций ? по индукции xn=xn-1?x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "x?R, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.?(OB,ox)=?x; ?(OB’,ox)=?x 0<=x<=p/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки ? |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx ? 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 ? |sinx|<=1<p/2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |Df(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| limh®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|®0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 Df=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh®0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a?1 непрерывна на (0,+?) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.




12


{Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "х? [a,b] "у?[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0?[A,B] ? x0=j(y0), f(x0)=y0 x0?(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]?[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f "y?(y1,y2)?x=j(y)?(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] ? мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "у?(у1,у2) соответсвует j(y)?(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e ? ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В ? х0=j(y0)=b Возьмём e<b-a Пусть y1=f(x0-e) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f "y?(y,y0] ? x=j(y) при отображении j пойдёт в а (x0-e,x0) ? ф-ция j непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.




11


{То непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем "e>0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число d>0 так что "у /у-b/<d так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/<e из непрерывности ф-ии g(x) в т а $ d>0 l(х) опред на (а-d;а+d) и "х?(а-d;а+d) => /f(x)-f(a)/<d. На интервале (а-d;а+d) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем "х?(а-d;а+d) /g(f(x))-g(f(a))/<e => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.




10


{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b ? X , a<b A=f(a)?f(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В $ c?(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию j(x)=f(x)-C Пусть для определённости A<B ? A<C<B; ф-ция j(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки j(a)=f(a)-C=A-C<0; j(b)=f(b)-C=B-C>0 ? по теореме Больцана –Каши $ с?(a,b) | j(c)=0 ? f(c)-C=0? f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения $a.b ?[a,b] | f(a)=minf(x) x?[a,b]; f(b)=maxf(x) x?[a,b] f(a)<=f(x)<=f(b) "x ?[a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве Х?Rn называется равномерно непрерывной на Х если для "e>0 $d=d(e)>0 | "x’,x’’?X,r(x’,x’’)<d?|f(x’)-f(x’’)|<e; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для "e>0 $d=e | "x’,x’’?R, |x’-x’’|<d=e {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.




9


{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для "e >0 $ d=d(e)>0 такое что "h /h/<d /f(a+h)-f(a)/< e Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), $ f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limx®a+0f(x) (f(a-0)=limx®a-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а $ f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)?0 тогда существует окрестность точки а :U(ag) и с>0 такое что f(x)>c "x?U(a,g) ((1)f(a)>0) f(x)< -c "x?U(ag) при f(a)<0 {Док-во} возьмем e =/f(a)//2>0 тогда $ d>0 такое что "x?U(ag) => /f(x)-f(a)/< e=/f(a)//2 f(x)<f(a)+/f(a)//2 f(x)=f(a)-/f(a)//2 ;1) f(a)>0 => /f(a)/=f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2<f(x) => c = f(a)/2; 2) f(a)<0 => /f(a)/=-f(a)=> "x?U(ag) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)<-c чтд




8


{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если $ C>0 | |f(x)|?C(g(x)) "x ? E f(x)=O(1) на E ? f(x) ограничена на Е т.е. $ С>0 | |f(x)|?C "x?E Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при x®a и пишут f(x)=o(g(x)), x®a , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limx®fE(x)=0 x?=o(x), x®0 f(x)=og(x) , x®a E(x)=x h(x)=o(g(x)), x®a; j(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) x®a f(x) есть O-большое от g(x) при x®a, если $ U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), x®a Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами x®a, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел $ limx®af(x)/g(x)=1 пишут f(x)~g(x) x®a {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) x®a g(x)?0 (x?a) {Док-во} Пусть f(x)~g(x) , x®a тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и $ limx®af(x)/g(x)=1 ? $ E(x), E(x)®0 при x®a | f(x)/g(x)=1+E(x)? f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), x®a. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) x®a , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limx®aE(x)=0 ? f(x)/g(x)=1+E(x) ? limx®af(x)/g(x)=1 ? f~g(x) x®a {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при x®a g(x)?0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при x®a имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при x®a {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при x®a, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при x®a




7


{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть $limx®af(x)=A $limy®Ag(y)=B и в некоторой U(a,d1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)?А тогда $limx®ag(f(x))=limy®Ag(y) {Док-во} "E>0 т.к. $ limy®Ag(y)=B ? $s>0 |"y , 0<|y-A|<s ?|g(y)-B|<E т.к. $ limx®af(x)=A ?для Е1=d $ s<d1 | "x , 0<|x-a|<d ? 0<|f(x)-A|<s ? "x, 0<|x-a|<d ? |g(x)-B|<E $limx®ag(f(x))=B=limy®Ag(y)




6


{Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при х®а А=lim(a®?)f(x) ? f(x)=A+j(x) ;Где j(x) – б м ф-ия при х®а {док-во} Пусть А=lim(х®а) f(x) предположим ; j(x)=f(x)-A и докажем что j(x)-б м ф при х®а. Возьмем " e>0 $ d завис от e такое что d(e)>0 такое что "х, 0</x-a/<d => /f(x)-A/<e => /j(x)/=/f(x)-A/<e таким образом j(x) – бмф при х®а пусть f(x)= j(x)+A где j(x) – бмф при х®а тогда при " e>0 $ d>0 такая что "х удв 0</x-a/<d выполняется /j(x)/< e => /f(x)-A/=/j(x)/ <e => lim(х®а)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при х®а =А и сущ lim(х®а)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В?0 ; 1-e св-во тк lim(х®а)f1(x)=A и lim(х®а)f2(x)=B => f1(x)=A+j1(x) f2(x)=B+j2(x) где j1j2 бм ф-ии при х®а тогда f1(x)+f2(x)=A+B+j1j2= A+B+j(x)== где j(х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(х®а)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и b1<b2 тогда $ U(a,d) такая что "х? U(a,d) => f1(x)<f2(x) {док-во} возьмем число с леж между b1 и b2 b1<c<b2 => 1)e1=c-b1>0 $d1>0 так что "х?U(a,d) /f1(x)-b1/<e1 = c-b1 => b1-c <f1(x)-b1<c-b1 =>f1(x)<c ;2) Для e2=b2-c $d2>0 так что "х?U(a,d) =>/f2(x)-b2/<e=b2-c => c-b2 <f2(x)-b2<b2-c ; c<f2(x) пусть d=min(d1d2) =>"х?U(a,d) => f1(x)<c c<f2(x)=> f1(x)<f2(x) {Т}пусть lim(х®а)f1(x)=b1 lim(х®а)f2(x)=b2 и $ U(a,d) так что "х?U(a,d) f1(x)<=f2(x)=> b1<=b2 {док} противоп утверждение те b1>=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,d) так что "х?U(a1,d1) => f1(x)>f2(x) do =min(d1d2) =>"х?U(a1,do) => f1(x)<f2(x) по усл f1(x)>f2(x)- по док-ву => противор =>b1<=b2 чтд {Т} Пусть существует limx®aj(x) ; limx®af(x) причём limx®aj(x)=A limx®aY(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,d) вып-ся j(x)?f(x)?Y(x) тогда $limx®af(x)=A {Док-во} "E>0 ? $d2>0 | "x 0<|x-a|<d2 ? A-E<j(x)<A+E ; $d3>0 | "x, 0<|x-a|<d3 ? A-E<Y(x)<A+E Пусть d=min(d1,d2,d3)? "x 0<|x-a|<d ? A-E<j(x)?f(x)?j(x)<A+E? |f(x)-A|<E




5


{О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=?} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d ? |f(x)|<E ? limx®af(x)=? {O limx®af(x)=+?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®?f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®?f(x)=?} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) ? |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d ? |f(x)-A|<e ? f(x)?U(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 ? |f(x)-B|<e ? f(x)?U(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)?U(A;E), f(x)?U(B;E) ? Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 ? |f(x)|=|f(x)-A+A|?|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)? {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 ? $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d ? |f(x)|>1/E ? 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d ? 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 ?f(x)?0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)? при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)?0, |f(x)|<1/E ? 1/f(x)>E ? 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 ? |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2? |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) ? "x 0<|x-a|<d ? |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e ? limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ?U(a,d1)? |g(x)|<m "e>0 ? $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 ? |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) ? "x, 0<|x-a|<d ? |f(x)g(x)|=|f(x)|?|g(x)|<em/m=e ? limx®af(x)g(x)=0




4


послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN?bN?cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN?bN?cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN?(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)?(х-Е,х+Е)=?. "n>max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е) & уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.




3


Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®?)xn если "e>0 $ne =n(e)IN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/<e нер-во эквивал след.: А-e<xn<A+e обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®?)xn=a lim(n®?)xn=b a<b a<r<b ? для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/<e1=r-a ? a-r <xn-a<r-a ? xn<r при n>n1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/<e2=b-r ? r-b<xn-b<b-c => xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn<r что невозм. => a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.




2


Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=j(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=f(t) у=y(t) f:T®X y:T®Y причем для функции ф существует обратная t=l(x) l:X ®T тогда на множ Х опред ф-ия f:X®Y следующим равенством f(x)=y(l(x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями f(t) y(t) {}обр ф-ия пусть f:Х®Y взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:Y®X "y?Y g(y)=x где х?Х такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)




Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn

{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ x?R'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки "x?X $ e >0 такая что U(x,e) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,r) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции r опред на множ Х и удовл след св-вам 1 r(x,y)=0 ? x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) " x,y?X; 3) p(x,y)<= p(x,z)+p(z,y) " x,y,z ?X в этом случае функция r метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у




Вопросы


1Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические простран­ства. Открытые и замкнутые множества в Rn.

2Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, об­ратная функция.

3Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой по­следовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Пере­ход к пределу в неравенствах.

5Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имею­щей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

6Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Пре­дельный переход в неравенствах.

7Теорема о пределе сложной функции.

8Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функ­ции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.

10Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.

11Теорема о непрерывности сложной функции.

12Теорема о непрерывности обратной функции.

13Непрерывность элементарных функций.

14Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходи­мость ряда

15Свойства сходящихся рядов.

16Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

17Признаки Даламбера и Коши.

18Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.

19Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

20Ряды с комплексными членами.

21Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производ­ной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

22Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и норма­ли к графику функции.

23Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функ­циями.

24Производная сложной функции.

25Производная обратной функции.

26Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.

27Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

28Параметрическое дифференцирование.

29Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.

30Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.

31Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.

32Теорема Коши.

33Правило Лопиталя.

34Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

35Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.

36Признак монотонности функции.

37Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.

38Выпуклость и точки перегиба.

39Асимптоты.

40Первообразная и ее свойства.

41Неопределенный интеграл и его свойства.

42Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

43Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.

44Интегрирование иррациональностей.

45Интегрирование тригонометрических выражений.

46Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции

47Свойства определенного интеграла,

48Теорема о среднем.

49Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

50Формула Ньютона - Лейбница

51Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.

52Площадь плоской фигуры. 53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.

54Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предель­ный признак сравнения.

55Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.

56Интегральный признак сходимости ряда.












Произведение двух последовательных чисел в 2 раза больше меньшего из них.Найдите эти числа.


1 и 2




Известно,что a>3.Положительный знак имеет выражение


-3+2a




Вычислите √16+ (√25)2 - √(-5)2


24




Найдите область определения функции y=√5 - 2a


(-бесконечность; 2,5)




Установите какое число является рациональным


Корень из 16




По графику функции найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;3]


-1




Найдите координаты вершины параболы y=x2 - 6x + 8


(3;-1)




Напишите уравнение параболы,изображенной на рисунке


y=-x(x-1)2 + 2




Параболу,построенную в координатной плоскости,соотнесите с её уравнением.


y=2x2




Представьте в виде дроби y2-9 9y


------ * ---

27y2 y-3

y+3

-----

3y




Упростите выражение 20 5


---- - --

5 с2+4с с

- -----

c+4


Сократите дробь b2-4a2


------

2a-b



-b-2




Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.



Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.



Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.



Фун 2 переменных.

Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся в обл D.

Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.


Фун 2 числовых аргументов.


Пусть имеется Е (х1;у1) – элементы принадлеж точке Е

Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi) ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).

Если рассмот-ть точку (хi;уi) и нашли соот-е значения zi=F(хi;уi).

Пусть точка (х0;у0)Е дельта окрест-ю точки (х0;у0) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у

(х-х0)+(y-y0) <.

Точка (х0;у0) наз внутренней точкой множества Е, если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой  этому множеству.

Точка (х0;у0) наз граничной точкой множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая  множ Е.

Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.

Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.

Точка (х0;у0) множ-ву Е наз изолированной точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.


Рвномерное прямолиненйное движение


Прямолинейное движение - траектория представляет собой прямую линию.

Прямолинейным равномерным движением называется механическое движение, при котором

тело за любые равные промежутки времени

t1 = t2 = t3 = ... совершает одинаковые перемещения


Перемещение


Перемещение - это вектор, соединяющий начальное и последующее положения тела.


путь


Пройденый путь — это скалярная физическая величина, равная длинне траектории тела,

или более просто: это длина пути, пройденого телом. Путь – скалярная физическая

величина, может быть только положительным.




Скорость


Скорость прямолинейного равномерного движения - это векторная физическая величина,

численно равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это

перемещение произошло.

Скорость показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени, двигаясь

прямолинейно и равномерно.

Например, если модуль скорости равна 5 м/с, это значит, что за каждую секунду

своего движения тело, двигаясь прямолинейно и равномерно, перемещается на 5 м.




Непр. ф-ции на пр-ке


f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)0 => f непр. на [a,b] и f(x)

f(b)=0 (f(x)f(b)>0 в окр-ти х0) =>  с(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции

на отрезке обоснованны.

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x)

огран. на этом от-резке, т.е.  с>0:f(x)c x(a,b).

Т-ма 2( о  экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она

достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е.  т-ка max X*:f(x*)f(x) x[a,b],

т-ка min X_:f(x_)f(x) x[a,b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др.

пр-ки

Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1]  f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(x(0;1))x=0, но т-ки x_

(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(x(0;1))x=1

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от

противного; f не-огр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x)

неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру

деления неогр. по-лучаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d

(d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны

f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр.

на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно ог-

ран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки

[an;bn] с доста-точно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по

предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани

supE(f)=supf(x)=(при х[a,b])=M(<). InfE(f)= inff(x)=m(m>-). Для опр. докажем

[a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е.  х*:f(x)=M. До-пустим противное,

такой т-ки не  и сл-но f(x)<M x[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-

f(x) при х[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0

согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е.  c>0

!0<g(x)c g0, на [a,b] – 1/(M-f(x))c => 1c(M-f(x)) => f(x) M-1/c x[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой

части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее

max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.


Классификация т-ки разрыва


Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и

2-го рода.

а) если в т-ке х0  оба односторонних предела, которые совпадают между собой

f(x0+)= f(x0-), но  f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы

она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее

знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0  оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой

f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не  или бесконечен,

то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во

вни-мание сл. замечания:

1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения

=> при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти

опр-ния.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл.

опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их

геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-

тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во

локал. огра-нич-ти)

Док-во использует опр-ние на языке  и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое

>0 можно найти >0 f(x)-f(x0)< при х-х0< ~ f(x0)-<f(x)<f(x0)+ в

окрестности в т-ке х0.

II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)0 то  окрестность

этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.

III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A,

f(b)=B при-чем AB => C(A,B)  c(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).

IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и

принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то  т-ка с

(a,b).

Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления

от-резка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.

Пусть f(d)0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для

определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем

рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к

новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения

отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков

эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действи-тельно

если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой  окрестности,

т-ке с f име-ет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с

достаточно N попабают в эту окре-стность и по построению f имеет разный знак на

концах этих отрезков.




Непрерывные ф-ции. Непрерывность.


Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-

ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из

определения вытекает что в слу-чае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание

пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в дан-ной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0

(1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции.

Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке

не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-

f(x0) (прираще-ние ф-ции в т. х0). “” - символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то

условие непре-рывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0

(1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение

аргумента.

f(x) непрерывна в т-ке х0 <> y0 при х0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего

предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен

значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция

f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся

непр. слева в т. х0.

Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция

f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева.

f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка

при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв.

одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и

очевидно f(0+)  и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния.

Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при

малом изменении капитала мало будет ме-няться и выпуск пр-ции (Q0 при k0).

Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными со-отв. т-ки в которых ф-ция не

явл. непр. наз-ся т-кой разрыва








Б/м ф-ции и их сравнения


Опр. Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого

определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0

при хх0, а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=> (х)(х)0 при хх0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более

высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного

порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при

хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.




Два замечательных предела


1) lim(x0)sin/x=1

2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное

соотноше-ние:

lim(n)(1+1/n)^n=e (1)

lim(n0)(1+x)^1/x=e (2)

t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3)

Док-во

1)x+ n x:n=[x] => nx<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция

возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x

(1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е.

Заметим (х+, n)

lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)

(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e

2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y

+, при x-.

lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y-

1))^y=e

3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn

сходящихся к  мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5)

Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2

подпосл-ти: {x‘n}+,

{x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное

соотно-шение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи






Пределы ф-ции на бесконечности


Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.

Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x+ если  {xn} которая к +

соответствую-щая ей последовательность {f(xn)}A в этом случае мы пишем lim(x

+)f(x)=A. Совершенно аналогично с -.

Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x {f(xn)}

сходится к А

Бесконечные пределы ф-ции

Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не -ют.

Р-рим на премере: lim(xo+)(1/x)

Очевидно не сущ-ет, т.к. для  {xn}+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть

сводятся к +.

Поэтому можно записать lim(xo+)1/x=+ что говорит о неограниченных возрастаниях

предела ф-ции при приближении к 0.

Аналогично с -.

Более того символы + и - употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке

лишь условно и означают например, что если {xn}x0 то {f(xn)},




Предел. Односторонний предел.


Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А

окрестность (х0):xокрестности (x0) выполняется условие f(x)окрестности.

Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.

Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0))

если f(x)A при хх0, х>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0

выполняется ус-ловие f(xn)A

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает

стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и

достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние

пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A

Док-во

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от

того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.

б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что 

просто пре-дел. Возьмем произвольную {xn}х0 разобьем если это необходимо эту

последовательность на две подпоследовательности.

1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};

2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};

x’nx0-o x’’nx0+o, т.к. односторонние пределы  и равны, то f(x‘n)A и f(x‘‘n)

A по-этому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:

1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)A на основании связи между сходимостью

последователь-ностей



Пределы функции на бесконечности

Два замечательных предела

Бесконечно малые фуекции и их сравнения

Непрерывные функции. Непрерывность.




Предел и непрерывность функции


Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0Х или х0Х.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для  >0  >0

такое, что для всех хХ, хх0, удовлетвор. неравенству х-х0<, выполняется

неравенство f(x)-A<.

Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке

х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (xx0)C=C

Возьмем любое >0. Тогда для любого числа >0 выполняется треюуемое неравенство

f(x)-C=C-C=0<, => lim(xx0)C=C

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)

g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С0) имеют в т-ке х0 пределы, равные

соответственно ВС, ВС, В/С, т.е. lim[f(x)g(x)]= BC, lim[f(x)g(x)]= BC,

lim[f(x)/g(x)]= B/C

Теорема также верна если х0 явл. , , 

Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение

в этой точ-ке равны, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)

Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)g(x),

f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.


Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.


Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно

самому знач. в этой точке.




Предел ф-ции в т-ке


Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если >0 найдется такое число В>0, для

всех х от-личных от х0 и (х-х0)<0 должно f(x)-A<

  >0 из х-х0< должно быть

Пусть f(x)-x0<, если =, то х-х0< => f(x)-x0<




Признак  предела


Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция

f имеет сов-падающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые

равны пределу ф-ции.

Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)A независимо от того

приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство

(1)




Односторонние пределы ф-ции в т-ке:


Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)A при хх0, и x>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}x0, вып-ся условие xn>x0,

f(x)A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(xx0+0)f(x)

И также с минусами.




Свойства предела ф-ции в точке


1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(xx0)f(x)=A

lim(xx0)g(x)B=> то тогда в этой т-ке  предел суммы, разности, произведения и

частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

б) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

в) lim(xx0)(f(x):g(x))=A/B

г) lim(xx0)C=C

д) lim(xx0)Cf(x)=CA

Док-во xnx0,  lim(xx0)f(x)=A по опр. f(xn)A {f(xn)}




Предел ф-ции в точке


y=f(x) X

опр.  {xn} X, xnx0

f(xn)A,=> f(x) в т. x0 (при , xnx0) предел = А

А=lim(xx0)f(x) или f(x)A при xx0

Т-ка x0 может  и  мн-ву Х.




Площадь поверхности геометрического тела: понятия, основные формулы.


Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости.

Свойства площадей:

Площадь единичного квадрата равна 1.

Площадь аддитивна.

Площадь неотрицательна.

Площади конгруэнтных фигур равны.йства:



Площади тел:

Площадь прямоугольника S=a b.

Площадь квадрата S=H2.

Площадь трапеции S=1/2 (a+b) h.

Площадь параллелограмма S=a h.

Площадь круга S=πr2.

Площадь треугольника S=1/2 a h.

Площадь поверхности сферы S=4 π R2.

Площадь поверхности цилиндра S=2 π rh.


Способы решений простейших тригонометрических уравнений.


Способ замены.

Как известно, метод замены переменной (метод подстановки) удобен в случае, если уравнение можно представить в виде F(j(x)) = 0, где F и j — некоторые функции. Метод заключается в том, что вводят новую переменную t = j(x). Тогда исходное уравнение принимает вид: F(t) = 0. Находим корни последнего уравнения и для каждого его корня to решаем уравнение j(x) = to. В результате получаем корни исходного уравнения.

Разложение на множители.

Приводим уравнение к виду f(x) = 0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0.




Объём геометрического тела: понятия, основные формулы.


Объём тела – величина части пространства, занимаемого геометрическим телом. Единица измерения объёма - объём куба, ребро которого равно единице измерения длины.

Основные свойства объемов:

Объёмы равных многогранников равны.

Объём многогранника, состоящего из суммы нескольких многогранников, равен сумме их объёмов.






Обратные тригонометрические функции: свойства и графики.


y = arcsin x →

Свойства функции арксинус:

1. y = arcsin x является нечетной функцией;

2. Функция арксинус - возрастающая функция;

3. Область определения функции арксинус от -1 до 1;

4. Множество значений функции арксинус от -П/2 до П/2.



←График функции y = arccos x.

Свойства функции арккосинус:

1. нечетная функция;

2. убывающая функция;

3. Область определения: от -1 до 1;

4. Множество значений функции: от 0 до Пи.







График функции y = arctg x↓

Свойства функции арктангенс:

1. нечетная функция;

2. возрастающая функция;

3. Область определения - вся числовая прямая;

4. Множество значений: от -П/2 до П/2.



График функции y = arcctg x↓

Свойства функции арккотангенс:

1. ни четная, ни нечетная функция;

2. Функция убывающая;

3. Область определения - вся числовая прямая;

4. Множество значений: от 0 до Пи.


Шар и сфера: определения и свойства.


Шар – фигура, получаемая, вращением полукруга вокруг диаметра.

Сфера – тело, образованное вращением полукруга вокруг его диаметра.

Радиус – отрезок прямой, соединяющий центр с точками сферы.

Диаметр сферы – хорда, проходящая через центр.

Хорда сферы – отрезок прямой, соединяющий две точки сферы.

Теорема:

Окружность – сечение сферы плоскостью.

Теорема:

Плоскость, проходящая через конец радиуса сферы и перпендикулярная к нему, является касательной плоскостью.

Взаимное расположение плоскости и шара:

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая плоскостью.

Сферический сегмент – часть сферы, отсекаемая плоскостью.

S сферического сегмента – шаровой свод.

Шаровой слой – часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровое поле – сферическая поверхность шарового слоя.




Котангенс: свойства и графики.




Свойства функции котангенс:

1. Функция нечетноая;

2. Убывает в интервале [0, Пи];

3. Область определения - интервал от нуля до Пи, кроме точек ноль и Пи;

4. Множество значений - вся числовая прямая;

5. Функция y = ctg x является периодичской с периодом Пи.




Цилиндр и конус: определения и свойства. Сечения.


Цилиндр – тело, образующееся при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Свойства:

Основания равны.

Основания лежат в параллельных плоскостях

Образующие параллельны и равны.

Сечения цилиндра:

Осевое сечение – сечение целиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Теорема.

Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет многоугольник.

Конус - геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Свойства:

Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение:

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треуголником.

Теорема

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший кусок. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.




Тангенс: свойства и графики.


График функции y = tg x тангенсоида.



Свойства функции тангенс:

1. Функция нечетная;

2. возрастает в интервале [-Пи/2, Пи/2];

3. Область определения: интервал [0, Пи], кроме точки Пи/2;

4. Множество значений - вся числовая прямая;

5. Функция y = tg x является периодической с периодом Пи.




Понятие теловращения. Поверхности вращения.


Поверхность вращения – поверхность, полученная при вращении образующей вокруг оси вращения.

Тело вращения – тело, ограниченное поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью.

Косинус – геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Цилиндр – тело, образующееся при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Шар – фигура, получаемая, вращением полукруга вокруг диаметра.




Косинус: свойства и графики.


График функции y = cos x косинусоида



Функция косинус y = cos x.

Свойства функции косинус:

Функция четная;

y = cos x является убывающей в интервале [0, Пи], в интервале [Пи, 2Пи] возрастает, эти интервалы проходим против часовой стрелки;

Область определения - вся числовая прямая;

Множество значений: от -1 до 1;

Функция y = cos x является периодической с периодом 2Пи.




Пирамида: определения. Правильная пирамида.


Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания.

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

Боковые рёбра, боковые грани, апофемы – соответственно равны.

Двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при боковых рёбрах равны.

Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.

Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.




Синус: свойства и графики.


Графи функции sin(x) называется синусоидой.



Функция синус y = sin x.



Свойства функции синус:

Функция нечетной;

y = sin x - возрастающей в интервале [0, П/2], в интервале [П/2, 3П/2] убывает, а в интервале [3П/2, 2П] вновь возрастает;

Область определения - вся числовая прямая;

Множество значений - от -1 до 1;

Функция y = sin x является периодической с периодом 2Пи.




Параллелепипед. Сечение в призмах.


Параллелепипед – призма, основанием которой является параллелограмм.

Теорема.

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Теорема.

В параллелепипеде диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны его основанию.

Наклонный параллелепипед – непрямой параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, основание которого прямоугольник.

Куб – прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы.

Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, плоскость которого перпендикулярна боковому ребру призмы, а вершины лежат на прямых, проходящих через боковые ребра.




Призма: определения и виды.


Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Прямая призма — призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию, в противном случае призма называется наклонной.

В прямой призме боковые ребра являются высотами.

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.

Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.

Боковые ребра правильной призмы равны.

Правильная призма является прямой.




Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму.





Многогранник. Поверхность многогранника. Правильный многогранник.


Многогранник – тело, ограниченное плоскими многоугольниками.

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Грани – многоугольники, ограничивающие многогранник, их вершины – вершины многогранника.

Смежные грани имеют общее ребро.

Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий 2 вершины многогранника, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник – если отрезок, соединяющий любые две внутренние точки многогранника не пересекает его поверхности. В противном случае многогранник называется невыпуклым.




Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.







Перпендикулярность 2х плоскостей.


Если 2 плоскости пересекаются, образуя прямые двугранные углы, то они называются взаимно перпендикулярными.

Теорема.

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема.

Если 2 плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведён перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, то он лежит в этой плоскости.

Следствие.

Если 2 плоскости перпендикулярны 3й, то их линия пересечения параллельна этой плоскости.




Формулы двойного и половинного аргумента.







Понятие линейного угла в стереометрии.


Линейный угол двугранного угла – угол, образованный полуплоскостями, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Теорема.

Если двугранные углы равны, то равны их линейные углы.




Формулы сложения в тригонометрии.





Понятие двугранного угла, угла между плоскостями.


Полуплоскость – каждая часть плоскости, делимой прямой, лежащей в этой плоскости. Полуплоскость ограничена с одной стороны прямой.

Двугранный угол – часть пространства, ограниченная 2мя полуплоскостями, общей ограничивающей их прямой.

Грани – плоскости двугранного угла.

Ребро – общая прямая.

Два двугранных угла равны, если их можно совместить.

Двугранный угол называется прямым, тупым, развёрнутым в зависимости от линейного угла.

Угол между плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости образуют 2 пары смежных углов. Меньший из смежных углов – угол между плоскостями. Если 2 плоскости параллельны, то углы между ними = 0.






Формулы приведения.


Формулы приведения - это формулы, позволяющие выражать значения тригонометрических функций любого угла через функции угла первой четверти.










Понятия угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью. Основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости.


Перпендикулярность прямой и плоскости:

Прямая, пересекающая плоскость перпендикулярна этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости.

Теорема о 2х перпендикулярах.

Прямая перпендикулярная двум пересекающимся прямым на плоскости перпендикулярна этой плоскости.

Теорема.

Если плоскость перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. и наоборот: если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они перпендикулярные.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из перпендикулярных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой. И наоборот: если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они параллельны.

Угол между прямыми:

Угол между 2мя пересекающимися прямыми – наименьший из величин углов, образованных лучами, на которые прямые делятся их точкой пересечения.

Угол между прямой и плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью – острый угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Теорема.

Острый угол между прямой и её проекцией на плоскости меньше угла между этой прямой и любой другой прямой, лежащей на этой плоскости.




Соотношения между тригонометрическими функциями числового аргумента.













































Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Основные теорем о параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.


Взаимное расположение прямых в пространстве:

Пересекающиеся прямые – лежат в одной плоскости, имеют общую точку.

Параллельные прямые –лежат в одной плоскости, не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые – не лежат в одной плоскости, не пересекаются.

Прямая и плоскость:

прямая и плоскость параллельны, если они не скрещиваются.

Теорема:

Если прямая, непринадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и плоскости.

Теорема:

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна 1й прямой.

Параллельные плоскости:

Две плоскости параллельные, если они не пересекаются.

Теорема:

Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны 2м прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:

если две параллельные плоскости пересечены 3й плоскостью, линии пересечения параллельны.

Через точку не лежащую в данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной.

Если 2ве плоскости парлел-ны третьей, то они параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями равны.




Синус, косинус, тангенс, котангенс числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки их значений.


Абсцисса х точки М(а) число¬вой единичной окружности на¬зывается косинусом числа а: cos а = х.

Ордината у точки М(а) числовой единичной окружности на¬зывается синусом числа а: sin а = у

Отношение синуса числа а к его косинусу называется танген¬сом числа а: tga=sima/cosa.

Отношение косинуса числа а к его синусу называется котан¬генсом числа а:

ctga=cosa/sina.

Величина обратная cos a – sec a: sec a=1/cos a.

Величина обратная sin a –cosec a: cosec a= 1/sin a.





















Из определения тригонометр. функций следует, что знаки cos и sec – совпадают со знаками абсциссы точки М(а) числовой единичной окружности, а знаки sin и cosec со знаком ординаты точки M(a).

cos –чётная ф. tg,ctg,sin – нечётные.




Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии, следствия из них.


Стереометрия – раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве. Свойства геом. фигур устанавливают доказательством теорем, основывающихся на аксиомах(предположение без доказательства). Основные фигуры в стереометрии: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы стереометрии:

Через любые три точки, не лежащие на 1й прямой, проходит плоскость и только одна.

Если 2 различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если 2 точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следствие аксиом:

Через прямую и точку вне её можно провести только 1 плоскость.

Через 2 пересекающиеся прямые можно провести только 1 плоскость.

Через 2 параллельные прямые можно провести 1 плоскость.




Радианное измерение дуг углов. Соотношения между градусной и радианной мерами угла.


Радианная мера угла - отношение длины дуги к радиусу окружности: L/R=a.

Единица измерения дуг: дуга(радиан), длина которой = Rокрж.

Единица измерения углов: центральный угол(радиан), опирающийся на дугу в 1 радиан. Окружность имеет радианную меру: 2πрадиан.

Пусть дуге в альфа соответствует дуга, равная 1альфа(a) радиану, тогда:

a=π/〖180〗^0 ×a – переход от градусной меры к радианной.

а=(180^0)/π×a - переход от радианного измерения к градусному.




Понятия прямоугольной декартовой системы. Правила действий над векторами с заданными координатами.


Декартовая система координат на плоскости – совокупность начала О и прямоугольного базиса (i ⃗; j ⃗).

O–начало координат на плоскости.

i ⃗; j ⃗ - координатные векторы.

r ⃗(x_0; y_0)=(OM) ⃗ – радиус-вектор точки М. Координаты радиуса-вектора r ⃗ – одновременно координаты точки M (конца радиуса-вектора).

Координаты вектора – проекция вектора r ⃗ на координатные оси.

Если начало вектора (AB) ⃗ не совпадают с началом координат, то координаты вектора (AB) ⃗ и координаты его конца различны. Проекция вектора (AB) ⃗ на оси координат соответственно равны: x ⃗=x_b-x_a, y ⃗=y_b-y_a

Правила действий над векторами с заданными координатами:

Разложение вектора a ⃗ в базисе (i ⃗ и j ⃗) имеет вид: a ⃗=x_0 j ⃗+y_0 j ⃗,

где i ⃗- единичный вектор на оси Ох

j ⃗ - единственный вектор на оси Оу.

Числа х0 и у0 – координаты вектора a ⃗ в базисе (i ⃗; j ⃗).

Векторы х0i ⃗ и y_0 j ⃗ – компоненты вектора a ⃗.

Если начало вектора a ⃗ находится в точке А(хА; уА), а конец — в точке В(хв; ув), то разложение вектора а записывается в виде

a ⃗= (AB) ⃗ = (хв - xA) i ⃗+ (ув - yA) j ⃗

Если в базисе (i ⃗; j ⃗). заданы векторы a ⃗ = (х1; у1) i ⃗ и b ⃗= (х2; у2), то:

Координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т. е.

a ⃗ + b ⃗ = (х1 + х2; у1 + у2).

Координаты разности двух векторов равны разностям соот¬ветствующих координат этих векторов, т. е.

a ⃗ - b ⃗ = (х1 - х2; у1 - у2).

Координаты произведения вектора на число равны произ¬ведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т. е.

ma ⃗= (mх1; mу1).

Условие коллинеарности двух векторов a ⃗=(х1; у1) и b=(х2; у2) имеет вид х1 = mх2; ух = mу2, т. е. если соответствующие координаты двух векторов пропорцио¬нальны, то векторы коллинеарны.

Если m>0, то векторы a ⃗ и b ⃗ имеют одинаковое направление, если m<0, то направление векторов противоположно.

Длина вектора:

Вектора a ⃗=(x,y)

(|a|) ⃗= √(x^2+y^2 )

Длина вектора (AB) ⃗=(xB - xA; yB –yA)

|(AB) ⃗|=√(〖(x_B-x_A)〗^2 〖+(y_B-y_A)〗^2 )




Логарифмические уравнения: способы их решения.


Логарифмическое уравнение - уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма.

Способы решения:

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида logax= b (1).

Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Метод потенцирования - переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если logaf(х) = logag(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а≠1.

Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.

Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Рассмотрим утверждения и правила, позволяющие решить уравнения.

1.Представим: loga x = b - это простейший вид логарифмического уравнения.

Если a > 0, a ≠ 1, то можно смело утверждать, что уравнение при любом значение b имеет решение x = a^b (a в степени b).



2 Помните свойства логарифмической функции, что помогут при решении:

Область определения - множество только положительных чисел.

Область значения - множество действительных чисел.

Если a > 1 логарифмическая функция строго возрастает, в обратном случае - строго убывает.

loga 1 = 0 и loga a = 1, следует учесть, что a > 0, a ≠ 1.

И последнее - Если a > 1, то функция выпукла вверх.

3. При решение логарифмических уравнений лучше использовать равносильное преобразование. Учитывайте преобразования, которые могут привести и к потере корней. Используйте определения и все свойства логарифма при решении.



4. Также можно использовать метод подстановки. Метод позволяет заменять логарифм другим значением, например - t, после решения восстановив логарифм.




Вектор: определения, действия над векторами, свойства действий над векторами.


Вектор – направленный отрезок (AB) ⃗. А – начало вектора, В – конец вектора.

Длина вектора – расстояние |(AB|) ⃗.

Нулевой вектор – вектор, концы которого совпадают.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Противоположнонаправленные векторы – векторы, лежащие в разных полуплоскостях, относительно прямой, проходящей через их концы.

Два вектора равны, если они совмещаются параллельным переносом.

Действия над векторами.

Сложение.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.



Правило треугольника: Суммой двух векторов a ⃗ и b ⃗ называется новый вектор c ⃗ который обозначается c ⃗=(a+b) ⃗ и получается следующим образом.











Разность векторов:

Произведением ненулевого вектора a ⃗ на число k называется такой вектор b ⃗, длина которого равна , причем векторы a ⃗ и b ⃗ сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0.




Показательные уравнения. Способы их решения.


Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Показательное уравнение сводится к виду ax=ab, a>0, a≠1 – имеет единственный корень.

Чтобы привести ур-е к виду ax=ab, a>0, a≠1 необходимо в левой части ур-я вынести за скобки общий множитель: ax+1-ax-1=b, ax-1(a2-1)=b

Можно делить обе части ур-я на выражение ≠0: ax=bx, ax/bx=1, (a/b)x=1

Некоторые показ. ур-я заменой ax=t сводятся к квадратным. Надо помнить, что t>0.



Алгоритм решения показательных уравнений:

1. Уравниваем основания степеней во всех слагаемых, содержащих неизвестное в показателе степени.

2. а) Если показатели степеней отличаются только постоянным слагаемым, то выносим за скобки общий множитель.

б) Если показатель одной из степеней по модулю в 2 раза больше показателя другой, то вводим новую переменную.




Криволинейная трапеция. Понятия.


Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом.








Степенная функция. Свойства и графики.


Функция вида у = хa, где a — действительное число, называет¬ся степенной функцией с показателем a.

Свойства и график степенной функции зависят от a.



К основным свойствам степенной функции y=xa при a>0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; +∞).

Область значений функции - промежуток (0; +∞).

Для любых a график функции проходит через точку (1;1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1 < x2 то ar1 < ar2 .

График степенной функции при a >0 изображен на рисунке.





К основным свойствам степенной функции y =xa при a<0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; +∞).

Область значений функции - промежуток (0; +∞).

Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x1<x2 то ar1>ar2 .

График степенной функции при a<0 изображен на рисунке.



Справедливы следующие свойства степенной функции:

xa1xa2 = xa1 + a2

xa1 : xa2 = xa1 - a2

(xa1)a2 = xa1 a2

xa1 > xa2, x > 1, a1 > a2

xa1 < xa2, 0 < x < 1, a1 < a2




Способы вычисления определённого интеграла.


1.Метод.

Подстановка(Замена переменной).

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл ∫_a^b▒f(x) dx а преобразуется с помощью подстановки и = φ(x) или х= (u) в определенный интеграл относительно новой переменной и. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответ¬ственно новыми пределами интегрирования а и , которые нахо¬дятся из исходной подстановки.

∫_a^b▒〖f(x)dx=∫_(j )^g▒〖f(φ(t) )×φ'(t)dt〗〗



2.Метод.

Метод интегрирования по частям.

∫_b^a▒〖u×dv=u×vI■(b@a)〗- I b¦a v×du




Лрогарифмическая функция. Её свойства и графики.


Функция y = loga х (где а > 0, а ≠1) называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции.

Основные свойства:

область определения: множ-во всех положит. чисел.

область значения: множ-во всех действит. значений.

это монотонная функция: возрастает при

a>1 и убывает при 0<a<1;

функция неограниченная, непрерывная, непериодическая;

у функции есть один ноль: x = 1.




Определённый интеграл. Геометрический смысл. Свойства.


Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале [a;b], называется прирощение первообразной F(x) для этой функции.



Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площадь S криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале a;b функции y=f(x), осью OX и прямыми x = a и x = b) вычисляется по формуле:





1.постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:





2.интеграл от суммы равен сумме интегралов:



3.при перестановке пределов интегрирования знак опреде¬ленного интеграла меняется на противоположный:




Показательная функция. Свойства и графики.


Функция y=ax при a > 0, a ≠1 называется показательной функцией с основанием a.



1.Область определения — множество R действительных чисел.

2.Область значений — множество R всех положительных действительных чисел.

3.При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.








Формулы интегрирования. Способы вычисления неопределённого интеграла.




1.Метод.

Непосредственное интегрирование.

Вычисление неопределённых интегралов путём приведения их к табличным с применением основных свойств.

2.Метод.

Замена переменных.

Введение новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.





3.Метод.

Интегрирование по частям.



Спомощью этой формулы нахождения сводится к отысканию другого интеграла . Её применение целесообразо в случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

1 тип интегралов:

u-это P(x) –многочлен

dv-всё остальное

∫▒〖P(x)×e^ax dx〗

∫▒P(x)sinaxdx

∫▒P(x)cosaxdx

2 тип интегралов:

dv-P(x)dx

u-всё остальное

∫▒P(x)lnxdx

∫▒P(x)arcsinxdx

∫▒P(x)arccosxdx



4.Метод.

Частный случай метода подстановки.

Метод подведения под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве

. То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду .




Логарифмы и их свойства. Натуральный логарифм. Десятичный логарифм.


Логарифм - показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.

Обозначение: logab.

logab = х, ах = b.



Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом(ln x), где е=2,7 18 28 18

Десятичный логарифм числа(lga=log10a) - логарифм по основанию 10, т. е. показатель степени, в которую надо возвести 10, чтобы получить это число.



СВОЙСТВА АЛГОРИФМОВ

a>0 M>0 N>0 n-действит. число

loga(bc) = logab + logac;

loga(b/c) = logab - logac;

loga xp=p logax

loga√(n&M)=1/n * logaM



ФОРМУЛЫ АЛГОРИФМОВ

Основное логарифмическое тождество - аlogаb = Ь;

loga1 = 0;

logaa = 1;

loga(bc) = logab + logac;

loga(b/c) = logab - logac;

loga(1/c) = loga1 - logaс = - logac;

loga(bс) = с logab;

lоg(аc)b = (1/c) logab;

Формула перехода к новому основанию - logab = (logcb)/(logcа);

logab =1/logba;

loga xp=p logax для любого действительного р.



ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА

logbN=1/logab * logaN

logba=1/logab

logakN=1/k * logak k≠0,N>0,a>0,a≠1

logaN=logamNm



Логарифмирование – нахождение логарифма числа.

Потенцирование – обратное логарифмированию.




Неопределённый интеграл. Определения и свойства.


Неопределённый интеграл – совокупность всех первообразных F(x).

(выражение F(x)+c (c-const), где функции F(x) первообразная для f(x);

f(x)-подынтегральная функция, а f(x)dx – подынтегральное выражение).

Свойства:

-постоянную можно выносить за знак интеграла:

-интеграл суммы равен сумме интегралов:

-производная от интеграла равна подынтегральной функции:( f(x)dx)'=f(x)

-интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования: .


Первоообразная. Определение.


Первообразная — первообразная функция, функция производная от которой равна данной функции.

F'(x)=f(x)

Если F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции записываются в виде F(x)+c, где c-const.

Геометрический смысл первообразной - графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.




Понятие степени с действительным показателем. Её свойства.


Степень числа an – это произведение n множителей, каждый из которых равен а.

а — основание степени, число n — показатель степени.

Свойства:

Если а и b — положительные числа, x и y — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

ax * ay = ay+x ax:ay=ax-y (ax)y=axy ax*bx=(a*b)x

ax:bx=(a:b)x ax>0 a1=a a0=1




Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.


Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках.

Минимум – это наименьшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках.

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда свои наибольшее и наименьшее значения функция достигает в критических точках, лежащих внутри отрезка [a,b], либо на концах отрезка.

Т.о., для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

- найти все критические точки фунции, лежащие внутри отрезка [a,b]

- вычислить значения функции в этих точках и в точка a и b

- выбрать наибольшее и наименьшее значения.




Непрерывность функции: определения, свойства. Разрывы.


Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если

1. Она определена в точке х0

2. Существует конечный предел: lim┬(X→x_0 )⁡〖f(x)〗

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.

Функция f(x называется непрерывной на отрезке [x1;x2] , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его концах выполняются равенства:

lim┬(x→x_1+0)⁡〖f(x)=f(x_1)〗 и lim┬(x→x_2-0)⁡〖f(x)=f(x_2)〗

Точки разрыва функции f(x) – точки, где функция f(x) не является непрерывной.

Свойства непрерывности функции:

Функция, непрерывная в точке a, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

Если функция f непрерывна в точке a и f(a) > 0 (или f(a) < 0), то f(x) > 0 (или f(x) < 0) для всех x, достаточно близких к a.

Если функции у и g непрерывны в точке a, то функции f + g и f × g тоже непрерывны в точке а.

Если функции f и g непрерывны в точке а и при этом g(a)≠0. то функция f/g тоже непрерывна в точке a.

Если функция f непрерывна в точке a и функция g непрерывна в точке b = f(a), то их композиция h = g о f непрерывна в точке a

Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.




Общая схема построения графиков функций с помощью производной.


Найти область определения функции.

функция может быть определенна на промежутках: (a;b), [a;b], (−∞;+∞), (−∞;b), (a;+∞).

Исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность.

график четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

на оси ОХ точка (x0; y0=f(x0)=0)

на оси ОY точка (х0; y0=f(0))

Выяснить с помощью производной монотонность функции, промежутки возрастания и убывания.

Найти интервалы монотонности функции f(x):

находят производную f(x)

решают неравенство f(x)>0.

На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f(x) возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f(x)<0, функция f(x) убывает.

Используя производную, найти точки экстремума, значение функции в этих точках.

С помощью второй производной найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки её перегиба.

Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости.

Вычислить значение функции в точках перегиба.

Найдя f''(x) , мы решаем неравенство f''(x)>0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз.

Решая обратное неравенство f''(x)<0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба.

По найденным точкам построить график функции.








Числовая функция: определение, свойства. Способы задания функции. Простейшие преобразования графиков. Определение точки перегиба.


Переменная у –функция переменной х, если каждому значению х соответствует определённое значение у.

y=f(x).

Область определения функции(D) - множество всех значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Множество значений функции – все значения, котороые принимает функция на своей области определения.

Функция четная - для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).

Функция нечётная - для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

График чёт. функции симметричен относит. оси оу, график нечёт. относит. начала координат.

Возрастающая функция - для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).

Убывающая функция - для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).

Переодическая функция - если существует такое число T>0, что для любого х∈ D(f) верно f(x+T)=f(x-T)=f(x).

T – период функции f(x).

Способы задания функции:

Аналитический способ - функция задаётся с помощью формулы.

Табличный способ - задание функции, перечислив все её возможные аргументы и значения для них.

Словесный способ - описание функции словами.

Простейшие преобразования графиков:

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m.

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц: y = f(x - b)

вправо, если b > 0;

влево, если b < 0.

y = f(x + b)

влево, если b > 0;

вправо, если b < 0.

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц: y = f(x) + m

вверх, если m > 0,

вниз, если m < 0.

Отражение графика: y = f( - x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Точка перегиба - точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.




Необходимые и достаточные условия выпуклости/вогнутости функции/точки перегиба.


Если график функции y=f(x) имеет касательную в точке x = x0, и в некоторой окрестности этой точки он лежит ниже касательной, то он называется выпуклым в точке x0; a если в некоторой окрестности этой точки он лежит выше касательной, то он называется вогнутым.

График y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале [a,b], если он выпуклый (вогнутый) в каждой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на интервале ( a, b ), тогда:

если f''(x)>0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b);

если f''(x)<0 для любого x∈(a,b), то функция f(x) является выпуклой на интервале (a,b).

Точка (x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и это точка отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.

Достаточные условия точки перегиба. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема, график этой функции имеет в этой точке касательную и при переходе через эту точку f''(x) меняет знак, то x0 — точка перегиба графика функции y=f(x).

Необходимое условие точки перегиба. Если x = x0 — точка перегиба графика функции y=f(x), то f'(x)=0 или не существует.




Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.


Числовая последовательность(х1,x2,x3…xn...) – упорядоченное множ-во чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. xn – общий член последовательности.

Монотонно возрастающая последовательность – каждый её член больше предыдущего, т.е для любого n∈N верно xn+1>xn.

Монотонно убывающая последовательность – каждый её член меньше предыдущего, т.е для любого n∈N верно xn+1<xn .

Ограниченная последовательность – для любого n∈N существуют m и M, что выполняется нер-во

m≤ xn≤ M.

Предел последовательности(limxn=a) – число а, если для любого положительного числа ε>0 существует число N=N(ε), что: |xn-a|<ε=a- ε<xn<a+ ε.

] a- ε; a+ ε[ - окрестность точки а.

Сходящаяся последовательность – пос-ть с одним пределом.

Расходящаяся последовательность – предела не имеет.

Условие: Сходящаяся последовательность должна быть ограниченной.

Пределы:

lim┬(n→∞)⁡〖1/n〗=0

lim┬(n→0)⁡〖1/n〗=∞

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.




Необходимое и достаточные условия возрастания/убывания функции/существования экстремума.


Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале [а, b], если для любых х1 и х2 из этого интервала, для которых х1 <х2, верно неравенство f(x1)<f(x2).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале [а, b], если для любых х1 и х2 из этого интервала, для которых х1<х2,верно неравенство f (x1) > f (x2).

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f(х)<0, то функция убывает на этом интервале.



Точки экстремума – точки минимума и максимума.

Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)>f(x) .

Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)< f(x) .

Необходимое условие существования экстремума:

Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Достаточное условие существования экстремума:

Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x0 , дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак, то x = x0 — точка:

а) f(x0) — максимум, если f'(x)>0, при x<x0 и f'(x)<0, при x>x0.

б) f(x0) — минимум, если f'(x)<0, при x<x0 и f(x0)>0, при x<x0.




Определители 2 и 3 порядка. Метод Краммера.


Определитель 2 порядка – число, равное a1×b1-a2×b2 . Определитель 2 порядка составлен из коэффициентов при переменной.

Обозначается:

a1b2-a2b1



a1,b1,a2,b2-элементы определителя.

a1,b2 – главная диагональ, a2,b1 – побочная.

del x=c1b2-c2b1

del y=a1c2-a2c1

Формулы Краммера:

x=delx/del

y=dely/del

Случай 1.

del=0, delx=0, dely=0 – система имеет бесчисл-е множ-во решений.

Случай 2.

del=0, delx≠0, dely≠0 – система решений не имеет.

Определитель 3 порядка – число, равное del=a1(b2c2-b3c3)-b1(a2c3-a3-a3c2)+c1(a2b3-a3b2).

delx=d1(b2c3-b3c2)-b1(d2c3-d3c2)+c1(d2b3-d3b2)

dely=a1(d2c3-d3c2)-d1(a2c3-c2a3)+c1(a2d3-d2a3)

delz=a1(b2d3-b3d2)-b1(a2d3-a3d2)+d1(a2b3-b2a3)

Форсулы Краммера:

x=delx/del, y=dely/del, z=delz/del

Случай 1.

del=0, delx=0, dely=0, delz=o – система имеет бесчисл. множ-во решений.

Случай 2.

del=0, delx≠0, dely≠0, delz=0 – система решений не имеет.




Вторая производная: определение, физический смысл.


Производная второго порядка – производная от производной y' функции y=f(x).

y'' =(y')'=(f'(x))'=f''(x)

Физический смысл производной второго порядка:

ускорение а прямолинейного движения в точке в данный момент времени равно второй производной пути по времени, т.е a=v'(t)=s''(t).




Способы решений иррациональных уравнений.


Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную под знаком корня. Решение иррац. ур-я основывается на преобразовании его к рацон-му. Это достигается возведением обеих его частей в одну и ту же степень. Могут появится посторонние корни, по этому все корни проверяют подстановкой в исходное уравнение и посторонние корни отбрасывают.




Способы решений квадратных уравнений.


Квадратное уравнение – уравнение вида ax2+bx+c=0, a≠0.

1.Способ. Дискриминант ур-я: D=b2-4ac, корни x1,2=-b±кореньD/2a.

D>0 –оба корня ∈ R, разные.

D=0 – один корень.

D<0 – нет корней.

2.Способ. Теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q

3.Способ. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где х1,х2 – корни кв. трёхчлена.

7. Дифференциал: определение, геометрический смысл.

Дифференциал(dy) функции y=f(x) – произведение производной f'(x) на произвольное приращение аргумента x:



Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx=∆x.

Производная функции y=f(x) – отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента:

dy=y'× dx → y'=dy/dx.

Геометрический смысл.

Дифференциал функции y=f(x) – приращение ординаты касательной, проведённой в данной точке кривой.

PT=y'×dx=dy




Правила и формулы дифференцирования функции.


Производная постоянной равна 0: c'=0, где c-const

Производная функции y=x равна 1: x'=1

Производная суммы: (u + v)=u'+ v'

Производная произведения: (u*v)'=u'*v + v'*u

Следствие: пост. множ. за скобки: (c*u)'=c*u, где c-const.

Производная дроби: (u/v)'=(u'v-v'u)/(v2)

Следствие1: (u/c)'=(1/c)*u'

Следствие2: (c/v)'=-cv'/v2

Производная степенной функции: (xn)'=nxn-1

Производная функции y=(√x)'=1/2√x : (√x)'=1/2√x

Производная функции у=1/х: 1/x)'=-1/x2




Способы решения линейных уравнений с одной переменной.


Линейное уравнение – уравнение вида ax+b=0, где a,b∈R.

Корень уравнение – значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Теорема1.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же чис¬ло, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно ито же число ≠ 0, то получится уравнение, равно-сильное данному.

Линейное уравнение ах + b = 0 может иметь только одно реше¬ние, совсем не иметь решения, иметь бесконечное мно¬жество решений.

Дробно-рациональные уравнения – линейное уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Записать ответ.

Графический способ решения линейных уравнений:

Рассмотрим три случая.

1. а≠ 0. у = ах - прямая, проходящая через начало координат, наклоненная к оси Ох под некоторым углом а. График функции у=b - прямая, па¬раллельная оси Ох. Эти две прямые пересекаются в единственной точке М. Абсцисса точки пересечения - и есть корень уравнения ах = b.









2. а=0, b≠0. у=ах совпадает с осью Ох, прямая у=b параллельна оси Ох. Прямые у= ах и у=b параллельны. Эти прямые не имеют точки пе¬ресечения, поэтому уравнение ах=b не имеет корней.





3. а=b=0. В этом случае прямые у=ах и у=b совпадают, сливаясь с осью Ох.Можно утверждать, что эти прямые пересекаются в каждой точке оси Ох, поэтому любое число явля¬ется корнем уравнения ах=b.




Формулы дифференцирования:


c'=0, где c-const

x'=1

(u + v)=u'+ v'

(u*v)'=u'*v + v'*u

(c*u)'=c*u, где c-const.

(u/v)'=(u'v-v'u)/(v2)

(u/c)'=(1/c)*u'

(c/v)'=-cv'/v2

(xn)'=nxn-1

(√x)'=1/2√x

(1/x)'=-1/x2




Производная: определение, геометрический, механический смысл.


Производная функции y=f(x) – предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x при ∆x→0:

lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗=lim┬(∆x→0)(f(x+∆x)-f(x))/∆x,

если такой предел существует.

∆x=x-x_0 - приращение аргумента.

∆f=f(x_0+∆x)-f(x_0 )-приращение функции

при условии, что -произвол. точка в некоторой окрестности фиксированной точки x_0.

Геометрический смысл - производная функции у=f(х) в точке А равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции у=f(x) в точке а: k=tgh=f'(x)

Механический смысл производной - производная от пути по времени есть мгновенная скорость: v(t0)=s'(t0)

Производная от скорости по времени есть ускорение: a=v'(t).




Относительная и абсолютная погрешности приближений.


Абсолютная погрешность приближения |x-a|=a - модуль разности между точным числом х и его приближенным значением а.

Приближенное значение числа а – число а с точностью до ∆a, если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ∆a: |x-a|≤ ∆a

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:

δ=α/a

но на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом ε, которое заведомо не меньше этого модуля: |δ|=ε

ε-граница относит.погрешности.

ε_■(a)=∆α/(|a|)




Действительные числа и их свойства.


Множество действительных чисел(R) - это множество конечных и бесконечных десятичных дробей.

Рациональные числа(Q)-числа вида m/n, где m,n N.

Иррациональные числа(Y)- числа, которые нельзя представить, как m/n, где m,n N.

Целые числа(Z)-множ-во натуральных чисел и число 0.

Натуральные числа(N)-числа, использующиеся для счёта.

Свойства действительных чисел:

Переместительный закон: a + b=b + а.

Сочетательный или ассоциативный закон сложения: (а + 6) + с=а + (6 + с).

Сложение рационального числа с нулем: а + 0=0.

Сложение взаимно обратных чисел: а + (-а) = 0.

Переместительный(коммутативный) закон умножения: а × b =b × a.

Сочетательный(ассоциативный) закон умножения: (а × Ь) × с = а × (Ь × с).

Умножение рационального числа на единицу: а × 1 = а.

Умножение взаимно обратных чисел: а ×(-a)= 1 для а × 0.

Распределительный(дистрибутивный) закон умно¬жения относительно сложения:

а(Ь + с) = а×Ь + а×с.

Свойство транзитивности: a<b, b<с → а<с.

Правило сложения неравенств: для любого числа с: а<b → а+с < b+с.

Правило умножения неравенств на число, отличное от нуля: a<b → a×c < b×c при с>0,

а<b → а×с > b×c при с<0.




1:25000000масш бер картада 2;12см


Ж:3000км


1,75т алтынд құм-н 0,7г;2170т


Ж:868т




1 кг май 80тг;360тг


Ж:350%




2=0,2,6,12


2=1;2

2=(1; 2)

2=(2x+1)ex+x2

2=(2x+1)x+x2

2=(4;∞)

2=[0; ½]

2=(-2;∞)

2=sinα

2=[0;2]

2=[-2;2]

2=√2x

2=13/6

2=0

2(b)=0, 2, 6, 12

2(y=sinx/2)=2

2=1

2=4

2=1/4 sin4α

2=1/(2√x-1)

2=1/2c² +c

2=П+2Пn

2(tga)=1/3

2=1/x

2=2(√a-√x)/a-x

2=x=П/2+2Пn; у=П/2-2Пn

2=135۫

2=2cos 2xe

2=2x cosx²

2=2x+cosx

2=2x+sin2x/4+c

2=2xcos x²

2=Пn/2≤x<П/4+Пn/2

2=-2xsinx²

2=2П

2=2π√2

2=2xcos²

2=sin2x

2=-sin2x

2=2

2=8

2=8ece

2=4 ece

2=a²+2ab+b²

2=a² +2a

2=cos²x

2=cos β-sinβ

2=x+2lnx-c

2=П/2+2Пn; (-1)ⁿ+¹П/6+Пn

2=2Пn; ±2П/3+2Пn

2=x-1

2=П

2=П/2(2П+1) nEZ(-1) kП/6+Пk

2=Пn/2≤x≤П/4+Пn/2; nEZ

2=Пn≤х<П/2+Пn

2=x>0

2=накты сандар жиыны

2=терис емес сандар

2=П/4+2Пn

20=1

20=110۫

20=2

20=3

20=20۫

20=200√3

20=2Пk kEZ

20=5√2 cm

20=-П/3+2Пn<x<П/3+2Пn

20=8; 8; 4

20=x≤0 ; x=1

20=П/2+Пk; kEZ

20=П/3(2n+1) nEZ П(2k+1) kEZ

20=П/4+П/2n

20=Пn nEZ; -П/2+2Пn

20=П/2+Пn; 2Пn

20=(-2; ∞)

20=40° jane 140°

200160=20%

200240320=40

200310190=2cos 10۫

20031123233=4sagat

2005=10

201=y=1,5x-0,5

2010=π/5

2011=-3

2012=240cm²

20120=400√2cm2

2015=375П см²

2015=4

2018150=9см

202=2*2/3

202=70۫

202=π2/12

202=6/3

202=П

202=2*2/3

2020=-П/4+Пn≤x≤Пn

2020=6П

202024=40/3

20204015015020=4

202040320=4

20221=1

2023=-4

20242=6 жане 4

2025=40%

2025=3

2025=12

202512=500

202516570=1

2026=х²+(у-3)²=13

2027=540

2030=155

2030=3,6π

2030=0,22cm2

2030320=xͼ(-3⅓;3⅓)

2035=8

20350=х>2

2038114113642=95,7

204=12см, 16см

204=0,7

2040=cos10°

2040=23, 29, 31, 37

2040=68%

204010=0

204060160180=0

2043=8

2045=5

20451132=33

205=П/6+Пn; 5П/6+Пn)

2050=21

205121=1-ln2

20590=21cm

2060=20√3

2065206575303075=1

207010=1/4cos40°

207024=2 jane 6 cm

208135=2 жане 14

209030=20/√3cm; 40/√3cm

21=(-1)ⁿ+¹ П/6+Пn kEZ

21=2Пк<х<П/6+2Пк

21=2x+x²/(1+x)²

21=(3; ∞)

21=(-∞; 1)

21=4π/5

21=(-1;5)

21=(-∞;-1)U(1; ∞)

21=[1/2; 1) U(1; ∞)

21=-П/4+Пn≤x≤П/4+Пn

21=(x²+2x+1)e

21=2П

21=[2;3]

21=√x²-1+C

21=2,5;10.1721=x=kπ

21=1

21=0

21(cos(2arctg1))=0

21=x-cosx+C

21=1/x(x2+1)3

21=-1;1

21=1;2

21=2/2x+1

21=320

21=5/2+2k kEZ

21=-П/3+2Пn≤x≤П/3+2Пn

21=-П/2+2Пn nEZ

21=-П/4+Пn nEZ

21=y=x-3+2ln2

21=x²-x+C

210=x=(-1)k П/6+ Пk, k=Z

210=(-1) П/4+Пn

210=(-1) П/6+Пn

210=(x-1)2+y2=4

210=-П/3+2Пn≤x≤П/3+2Пn

210=±П/3+2Пn nEZ

210=±П/4+2Пn

210=2;4;4cm

210=4/П+2Пk

210=П

210=14+k/2k kEZ

21001=4/3

2101105=a)-11; b)-36

2101105=ymax=-11,ymin=-36

210150180=30

2102=4П

21021710=2 26см

2102501=(-3; 2)

2103103=±1

210420210=1a²

2104922=3

2105=F(x)=(2x-1)U2x-1/3+C

210513=[-3/8; 2/3]

2109341234171167512=6

211=0

211=2

211=1

211=5,5

211=3x²-2x+1

211=П/3(ln+9) П/1(3k+9)

2111=(-1; 1)

2111=-1/3

2111=x*ln-1-x/1+x+1

2111012=14

2111012=4

21111=sin2a

211112=x -121

211120=320

2111210=(-1;2)

21112224221=-2x

2111510119=(2; 1)

2111825=ymax=0;ymin=-12

2112=y=x+1; y=1/3x+1-2/3

211212=[0;1/2]

211212=1

21122=-4*1,3

21123=-3±√6/2: 9

21123121=2,5

21124=-3±√5/2: 1

2112845=y max=0,ymin=-2

2113=-3; 1

21130=(-2; -1)U(1;3)

21132212=x=2,5

21137112=1

2114059=6П

211426=(-6; -2]U[-0,5; 6)

21142781223=Ж. Жок

21145=288

211815=0

2118312=13*1/3

212=[4; ∞)

212=П/3+4Пn≤x≤5П/3+4Пn

212=(1/2;8)

212=-4; 3

212=5

212=2cos²x

212=e

212=2π

212=ctg2α

212=tg²α

212=4

2120=6*1/5П

212005=17/15

212050=(0;1)

21205=у=24х+16

2121=±П/3+2Пn

2121=1/sin²α

2121=tgα/2

21210=(-1)ⁿП/6+Пn

212121122=1/a+b

21212121211=2m²/m²+1

212129=1/2*2

2121327=-1<x<2

212201=y=2x-3

2122033=3π/4

21221=(1,6; 0,8)

212212=-1;0

212212212212=tg1

212220=(-4;3)

2122200=0

21222033=3П/4

212 23=-4; 4

21227=18

2122737=

2123=П/6+П/2k kEZ

212314160=1/2(log₂3-1)

21232=-25

2123296=-1

21235=[1;4]

21235620=5;7

21239600=(0;1/7)

2124212110=[1;11]

21243611141=-1

212436111413=1

2124630=12500 kg

2125=10

212510=2

212640=-16; 4

21269=21

212750=(3;7]

2129216=4

213=3√3cm ²

213=x≥1

213=[1;4]

213=4

2130=(-2;1)U(3;∞)

21305=-5/6

2131=x<-2; x>0

21310397=100

2131294=5/18

2131883518535=7

213143=15/2√91

2132=a-1

2132=5

21320=7

213210=П/3+2Пк кЕZ

213222=0

213226=0,5

21327416=y=4/25

213352235=√61

213354163252411= -4

21336=(0;1/9]U[27;∞)

213512=5/3

213541=(3;5;2)

2136=9

2136212422=a/2

214=7/24

214160=102

2142=3sin 2α

2142=Parabola

21421=1/x²+x+1

214235=(3;2)

214318=61

2143523=(2)

2143543192=-0,4

214359=4*5/6

21443=2/6km

2147005=8/3

2149=1/3; 2/3; 1 jane 1;2/3;1/3

215=-1/5

215=-2;2

215=x₁=2,x₂=-1

215275=√3/2

215320=(-2; 2)

2154=3

21543455=5,25

2156=[-1; 11]

215835742=3

216=5; 3

216=-21

21602=90cm²

2160425=4

2161221=(1;3)

216153215=x<3/2

2161632127=(-∞;-4] U[4; ∞]

2162632127=(-∞; -4]U[4;∞)

2162=4,5

2163149=(18;12)

216325=[-4;-1]U{4}

21640=шеш,жок

21714(2x+1)6

2173172172=21700

2174311=(-4;2]

21772=7a-7/a

2182813442111=-m

218312=13; 1/3

218441=q=±2/3 b₁=±27

218481=b=±27 q=±3

2185144=q=-2

2190=6 jane 15

2190=x≠-9

2190225=19/40

2193721201144=1

2194290=(-4;2)

219433525110=9*2/15

2198=85/8

22=a=(0; 2)

22=1+4/x²

22=4

22=3П/4

22=√2/2

22 (П /2,sin x/2)=√2/4

22=7/3

22=[-√2;0]

22=[-1;2]

22=[-5П/4+2Пn; П/4+2Пn]

22=[-3П/4+2Пn; 3П/4+2Пn]

22=√2

22=-√x+√y/√x-√y

22=0

22=0,25; 4

22=1

22=1(α±П/2+Пn)

22=1/3

22=135°

22=2x+x/6+C

22=m²-2

22=Пn≤x≤П/4+Пn

22=1-sin x*sin2x/sin x

22=2

22=2cos 4x

22=2Пn; П/6+2Пn/3

22=4Пn≤x≤2П+4Пn

22=-П/8+Пn/2

22=3/5

22=2

22=4cm2

22=(-1) П/4+Пn nEZ

22=4,5

22=45°

22=4Пn(П/8+α/2)sin(α/2-П/8)

22=cos²x

22=a)-2,2; b) jok c) (-∞;0)(0∞)

22=a)x=-2 x=-2

22=a)x=-2 x=2

x=x max; x=x min

22=a/xy-a²

22=a+x/x

22=a{0;2}

22=-ab

22=cos α/2

22=x=5П/4+2Пn;у=-3П/4-2Пn

22=-sin x/2

22=-sin α

22=x=5П/4+2Пn

22=x²+4xy+4y²

22=x²+y²/x²-y²

22=j. jok

22=x=5П/4+2Пn

y=3П/4-2Пn

22=П/4+П

220=±3П/4+2Пn

220=(-1)ⁿ+¹ П/4+Пn

220=(-1) П/6+Пk

220=-П/4+2Пn≤x≤5П/4+2Пn

220=(-∞;-2]U[1;∞)

220=2

220=8π/15

220=3/2; 1

220=4

220=4,5

220=10

220=-1

220=П/2+Пn; ±П/3+2Пk

220=x≤-2;x≥2220=4*1/2

220=П/2+Пk

220=П+2Пn

220=Пn

220=П/2+2Пn

22021=y=1

220220=(-1; 0)

22005=y=-1,4x+11

2202=5*1/3

22020=xͼ(1;10])

22024232=2

22025=(-3;4]

2203=(-20;-12)

2203=0,35

22037=385

2204020=1/2

22042=y=2

220516=0,25;8

22052475=45

221=(-1)ⁿ+П/6+Пn

-П/4+Пk

221=1;-1

221=√2

221=-4

221=1/2<x<2

221=-sin²α

221=-ctg²α

221=Пn/2

221=П/4+Пn/2

221=П+2Пn

221=кез келген сан

221=±2П

2210=(-1) П/8+П/2k

2210=П/2+2Пn; (-1)ⁿ+¹П/6+ПК

2210=-П/4+Пn

2210=(-∞; -1]U[1;∞)

2210=-1

2210=0

2210=П/4(2k+1)

22100=П/6;5П/6

22100=√2

22100=y-1

22101=(0;2]

221016=1464 cm²

22103=y=12x-19

2211=-1/3

2211=60°

2211=a+b/ab

2211=sin²β

22111111=8√2cm²

2211221=1/a+b

2212=(3,5; 1,5)

2212=1

2212=±П/3+Пn

2212=4

2212=-sin²x

2212=П/8(2k+1)

221210=xͼ(-∞;0]

22122=y≠1

221220=Пk/2

22122122=4Пn/3

221222=2

221222=1

221232=2

22123381=(-5/3;7/6)

221242=8

2212424=1

22125=3

221252522=1,5

2213=1

221331=-2

221334=(3;1)(1;3)

2214=-1-32/П²

221426=x мани жок

22144122=0,25

22153=(-∞;-3]

2215334=104,9 km

22156=200

221563210=-1;0

2216=a=±4

22161024=-2;2

2217=2

22180=(-3;3)

22183=(8;4)

222=(-1)k П/8+П/2k

222=(-3; -2]U[1;2)

222=±2П/3+2Пk; П/4+Пn

222=П/8+Пn≤x≤3П/8+Пn

222=0

222=1/cos²α

222=2

222=2x

222=4/3

222=1/2sin2α

222=cos x

222=sin²x

222=П/2+Пn; П/6+Пk

222=П/4+(4n+1)

2220=(5;5)

2220=2

2220=[4x+10/√x]

2220120=4x+10/√x

2220122522232=1/4

222022=--2ab

2221=x=П/4+Пn/2; у=П/4-Пn/2

2221=1

2221=х₁=1;х₂=2

2221=cos²x

2221=(10;1)

2221=(П/2-Пn; Пn)

2221=x=2

222100=(-8;6)(6;-8)

22210245=3

22211221=(6;9]

2221212222=1; 3; 4

22216=1

2221822214=(-4;-1)(4;-1);(4;1)(-4;1)

2222=(y-2)/2

2222=0

2222cos(a+b)=1

2222=tg 6α

2222=a/a-b

2222=1/2cosx

2222=n-m

2222=П/4+Пк

2222=180°

2222=-11nx

2222=[П/4;П/2]

2222=tg²α/2

2222=y-7/2

2222=a+x/a-x

2222=y=-7/2

2222=(-1) k П/4+Пk; kZ; (-1)n+1 П/4+Пn, nZ

2222=(ab-1) (a-b-2)

2222=tg6a

22220232=(x-y)²

22221=П/2n

222212=Пn

222215=3/2

222215=1,3

2222211122221=1

222225=1/sin²5α

222222=(a+b+c)²

222222=sinαsin4α

2222221=(0;1/2]U(1; √2]U[2;8)

2222222=(a-b)/4

2222222=2xy/(x+y)²(x-y)

222222222=2b

22222223=4

222224=4

22223242=П/2+Пn; П/4+Пn/2

П/10+Пn/5

222255=a-b-5

22228120=2;-4

2222824=-1

22216=1

2223=√π/π+2

2223012230=1

22231=4

222312223=1

222315=[0;∞)

22232=1/4 sin²2α

222320=-П/4+Пn;-arctg3+Пк

2223223222=1/4sin2 2x

22234=5√2

222344=a-1/a²(a²-b²)

22240=3

2224200=5

222422=x+2/x-2

22244=1/a+b

√32225=0,3

22245=(3;-1,5)

2225622=x(a-b)/a+b

22275=x=5

2229=П/7+Пn/3

П/3+Пn/1

223=[-1;∞)

223=1

223=17

223=3

223=4-2√3

223=-6(1-2x)²

223=x=-1 min nuktesi

223=y=-2x+3

2230=(-1) 2П/3+2Пk

2230=(-3/2 ;1)

2230=45°

2230=П/4+Пk arcctg(-1;5)+Пn

2230=[-3;1]

2230=-1 x 3

2230452602301=4/17

2231=-П/3+Пn≤x≤Пn

2231=П/8+Пn/4 П/4+П/2

22310=(-3;-1)U(1;∞)

22315=(1,5; 5)

22318=x=4

2232=(2;∞)

2232=±П/12+Пn

2232=√ П/ П+2

2232=3

22320=-1/2;2

223220=-arctg1/2+Пn;arctg2+Пк

223223=tg2α

2232322226=(2;1)(-2;-1)

2233=1

2233=sinx-x+C

2233=x=2, y=-1

22331=a+1/a(a-b)

22331721=0,7

223322=1

223322=xy/x+y

2233232=4

223050=-5

2234=(0;1]

2234=12/7

2234=12П

2235=-4/7

22352300110130=1<x<2

22356323187=(1;2)

22362=±3

223 62235=1; 3

2237213=(-4 жане 1)

224=[1/4; ¾]

224=2±√2/2

2240=0; 8

2240=-2; 0

2241=(0; 4)

22410243=(-∞; -7)U(-1; 1)U(3; ∞)

2242=-3

224212=6

224214=6

22422=-2a+x/ax

22422102=5

224222424=tg²α

224224=-2sin a/2

224224224224=x

224244=8a³+8

2243 23223=-1*1/3

22434=6

23434=14

224422=a+1/a²+b²

224492=0

2245=2

2245=16/3

2245=72√2

22452303=√2tgα

2245334=(xy+z)(xy+3x³y-1)

22455=(4;1)(1;4)

22480=-8; 6

2249622192122=3

225=1

225=[-6;-4]

225010=(0;5]

225012=(0;5]

2151=6

225100=(-10;-5]U[5;100)

22512=y=x/2-5/2

2251815=1/4

2252=0,3

22520=(-∞;-2)U(1,5/2)

22521031032=-3;1

22529016510560340=√2

2253=2Пn

2253=14

22530=-1;-3/2;1;3/2

22530=-4

22531042352105=100

225325=3

2254=1/5(2x+5)+c

225402550=135000 тенге

225431=2

2255=x=sin5x+c

2255=x=2Пn; nEZ

225513=3

22564293=1

225 654=-1

22570=-1; 3.5

225735=65

22583=(-5;2)

226=86°

2260150150=1

2262=6cm

2262080=(-6;-2)(-1;-4)

22642150=(-∞;-8]U[-2;8]

2266=(4;4)

22662=6

226223=x/(x³-2)(3-x²)

227=[7;9]

227=41/49

2271=0,7

2272539=6√2+25

2273=x=8/7

227325=16

2273271=9;1/27

22743=q=±1/3

22750=2,5;1

22758113711=da 75 I 57

22794=2

228=a) -2;4 b)[1;∞) c)(-∞;1]

2282=[8; ∞)

2291002=ymax=10;ymin=0

22915898=-1

22916=±5

23=x3/3+3cosx+C

23=122

23=(11;∞)

23=-3*2 -3x *ln2

23=(-∞;0]

23=3/8

23=(-∞;∞)

23=3√5/2

23=[0;∞)

23=[-1;5]

23=x=3П/2n

23=1

23=1/x ln2

23=-1

23=18

23=18Пм²

23=x3/3-3cosx+C

23=-2,25

23=5.11.29.83

23=2/2x+3

23=-2/x²

23=2П/3+2Пn

23=3

23=4

23=-2sin(2x+3)

23=4;9

23=5 metr

23=9

23=-2/3

23=x≥0 x≠√3

23= жұп

23=x/x2-3

23=[-2/x2]

23=2x+3x²

230=1 см

230=0.5

230=2

230=8cm2

230=шешими жок

230=(0; 5П/12)

230=[П/6+2Пn; 11П/6+2Пn]

230=5П/3+6Пк кЕZ

230=П

230205=6,25

23022=±П/6

2303604530=2-√3/2

23045=2√3-2√6-√2

23050=x>2

23060=-90;90

231=(-3,25;∞)

231=(0;∞)

231={2;1}

231=x=1/3

231=Ø

231=2x+3

231=х=arctg9+πk

231=3/8

231=(-2;√2) U (√2; 2)

2310=(-1)ⁿП/18+Пn/3

2310=±2П/9+2П/3n

231021=а)0 b)-6

231031=y=-1

2311=3x-1/3√x-1

23112=-6

23113082833426133=5

23113413144=-3

231135=(-2; -3)

23118=x<1,4

23119353=2

2312=9y-x-14=0

23120=9Псм²

231211241=1/xy

23122=4;6см

23122318=3

231223=x>1/3

23123=30км

23123218=x=2;y=1

23124421=3

2312680224121=(2;6)

2313=9;1

2313161815170=9

2313413=x=5;y=6

23135=-3√2

231411=(4;0)

231431421=1

23149513=3

2315115=(3;5)(5;3)

23152933=0

231621=(5;-2)

2316232=(1/2;4)

23162321=(4;8)

23166=188

23174=11

2318421893=n=5

231842360=2;-5

232=(-1)k П/6+П/2к

232=(1;0)

232=-5П/12+2Пn<x<13П/12+2Пn

232=1

232=1,5

232=1/4

232=(-1)ⁿП/6+Пn; П/2+2Пк

232=1*1/3

232=бир

2320=Пn nEZ; ±arccos(-1/3)

23205=П/2к

2321=(1;3)

23210=2П/5n

232103=30;-2

23211=1

232122=-2/3

2321223=4

2321232117=1,5

2321316=5

2321417=жауап жок

2321636=(-∞;1.5)U(1.5;∞)

2322=x/x-3

2322=cosα

232202=5П/24

23221=xͼ(3;4)

23222=(-5;∞)

23222=(-∞;-5)

23222=(4; ∞)

2322222=a

2322223=6/19

23222322=10

2322264=(4;2)

23223=1/32

2322312=x>-8

23223123112x=1

2322320=2/3Пn

(-1)kП/3+2Пк

232240=(13;∞)

232243=x<11

2323=1/6sin6x+C

2323=-6

2323==-12/13

23230=Пn

(-1)karcsin1/3+Пk

232305=[П+3Пк;2П+3Пк]

232312=√6;√6

23232=6

23232230=П/3к кEZ П/6

2323232323=1/9

23234=±2

2323433=(13/14;-1/7)

232355=-1;4

2324=1

232412=-1<x<0

232415=1,5

23242=28

23242=4;6 cm

23242334=(-∞;-1)U(4;∞)

23242354=(3;1)

23250=-2

23253400=9

232523100=9

2326=-6;1

232631=2x/(1-3a)(x+2)

233=cosα

233={0;1}

233=±19+13k

233=шешими жок

233=1;-2

233=2

233=-П/2+2Пn, arccos3/2+2Пn

233060=1,5 dm³

23320=(-3;-2]U(2;3]

233212=(-∞;-1]U[2;∞)

23321223324=(1;2)

23322124410=(5;4)

233222=1

2332231=(-1;1)

23323=П/9 (3k±1)

2332382=(3;3)

233239=(3;-1)

2332622=36;12

233316=20

2337180270=-4/3

23373512=9;3

23375118=1;7

23377=127

234=(1;1)(1;-1)

234=2√2

234=9

2340=(-1;0]U(4;∞)

2340=жауап жок

2341131250431351=7

234132=1/2

23415=-1/4

2342=5/6

2342=-y³/2ab

2342211813419=(0;2)U(6;∞)

2342275=12p q³

2342393239=9x³

23430=(-1)ⁿ4П/9+4Пn/3

234381=(-5;2)

2345=3√2

2346=54cm²

234623202=3

23468=2(3x-4y)(x-1)

23482=16cm

234827=1;7

235=0,96

235=ctgα=-2

235=-1

235=4;6m

235=7/25

235=П/3n П/4(2к+1)

2350=(-5;1,5)

2351=x<-5/3

23512=5/3

235141559=x=1*9/6

235172551=(-4;2)U(3;∞)

2352=-4/7

23526=tgα=19

235237=4;-1

23563501=-2

235731=(-1;2)(-6;13*2/3)

23581=1

2358408=8a/(a-5)(x+8)

236=7cm

236=400cm2

236=(-1,5; 4,5)

2360=48П

2360=18cm³

2360=3√3/2

236235=(1;1)(log2³;log3²)

236245=(4;5)(-4;-5)

23630=-1,5;2

2363180=11/21

23652271356=6

23656=15

236602=8;12

237=d=7

23711=27

2375182=m=3,6 n=-4

2380=8

2392381=±1; ±1/9

2392128=xmax=1; xmin=2

24=(3;7]

24=(25; ∞)

24=sinα

24=24dm

24=-arctg2

24=3π/4

24=4y²

24=0 {f(x)=sin2x}

240=-2; -4

240102340=(4;100]

2402=0

2402020=√3

240300=-1

241=122.5

241=87,5cm

241=П/4+Пn/2

2412=-√2; √2

24120=√28cm

24121=9

2412616=12;4

24132352130=1

241530=-9-√53/2; -1+√5/2

2418=4,2dm

242=x>1/3

242=24П cm²

24212=-5/6

242122=-2

242053=1

2422=±3П/8+П/8+Пn

2422=0,2

24222182222=1

24226322=(x-y)/4y

2423=12;9km/cag

2423=П/6(2n+1) 2Пk

24232=8/3

2423323=5

2423423=1/x-2

24236165=b/2a

242364=3

2423920=(0;1/2]U(8;9)

2424=1/8sin8x+C

242405=П/24+Пn/4<x<5П/24+Пn/4

24242=10cm

24242=2y-x/y

24242422222=-4;-2

24243=1/2x+C

2424362=x

24245=0

2425=(7;9)

2425=(-∞;-2]U[2;∞)

2425=6

2426=811,2cm²

2427108=216

242824152=(a+2)²(a²+6a+4)

242856=26;30cm

243=4,5;7,5cm

243=xͼ(5+√3/2; ∞)

243=(7,5;4,5)(7,5;4,5)

243=a)1,3 b)(2;∞) c)(-∞;2)

2430=x=3 x=1

24309=7,1

2431=q=1/3

2431=81,27,9,3

243115 342312=4/5

243134=40

243135=121и181/16

2432=x≤-1;x≥9

243276=2

24330=П/18+Пк/3

2433232123=a+1

24333=4

243406=2,75

2436254=(3;1)

245=24/25

245101=5

24375=5

244=7

244=sin2α

244=sin²α

2440=(-∞;∞)

24420=-4;4

2445=8cm²

2445=24

2446230=x≥6

2448=-4;4

24488412=1/2

245=7/24

245=a)-1,5 b)(2;∞) c)(-∞;2)

2450=[-1;5]

24521625225=жауап жок

2456=3

2462=n(n+1)

2466=[-6;-4]U(0;2)

24688=1

246890=2,4√5

2470=[-7;-2]U[2;∞)

2470=37

247442=60°

2481=0<x<9

24821=ymax=48 ymin=-6

24848=-1

24903=9

2492=x=√6; x=-√6

2493=9

25=2a-5b-9√ab

25=(-∞;2)

25=-3/7

25=0,5;(-∞;2,5)(2,5;∞)

25=2≤x≤3

25=20%

25=2e

25=5mn/7

25=3 jane 4

25=5 есе кемиді

25=56,25%

25=a)0,5 b)(-∞;2,5) c)[2,5;∞)

25031=y=2x-7

2500011023=0

2504313=1*1/6

251=(0;-∞)

251=(1;3)

251=25

251024=24

251052=-1/2

251251=(0;1/5)U(1;5√5)

25125125=1/125

25125453=a+b/2

2512900=a1=84 d=-4

2513=119/169

2515=(-∞;1/2)

251512=840cm²

251512=x=2

25160=y=-0,4 x+3,2

2516515=(-1;0)

2516549187=100

25199=7,96

252=[0;2)U[5;∞)

252=108°

252=5(x+2)

2520=17

2520=7

2520=-arctg√2/e/5+П/5к

252027=-4

2521103=abc(x+y)

2521535=5

252160={-4/5;4/5}

2522=125cm³

25220=250

2522016220=--5x/4y

252215=3/4

25222=2

252252=a/a+5b

2523=±√7

2523=П/6+Пn/3; П/4+Пn

252331=-6

2524=2

25240=x1=0 x2=-1,6

25241=-5;-4

25241=(-∞;-3]

2525=5x-5x

2525252532=a-5

25255252=1

25262527=-7≤x≤2

252845=2

252936=4Пм

252936=40π

253=√17

253=6

2530=60° jane 120°

2530=[-2П/3+2Пn;2П/3+2Пn]

2531055364=2√19

2532540=(-5;1) (-1;±√6)

253302532=1

25332511=2a 9/1

253411=болады номер 5

2535=(60°;120°)

2535=60;120

25361=x=11/5

2540=(-4;-1)

2540=9

254154=-6

25420=П/4+Пк; arctg4+Пn

2542013=12

25421=жауап жок

254270=10 уй:15шатыр

2543210=(1;4)

25434=1*1/3

25475665=3,5kg

254937585426=-0,3

255=(-5/4;∞)

255=2sin 3П/10cosП/10

255=5

255101016=4

2552=туб.жок

25521=0;-9

255210=1,7√10

255636=15a/4(a-1)

25593=xͼ(-2; ∞)

256=(-1;2)U(3;6)

256=a)(2;3) b)[2,5;∞) c)(-∞ ;2,5]

2560=[6;1]

2560=8; -7

25612=ymax=0,ymin=-12

256452=154П

2565=2,0625

25711=y=-2x+3

25713=(1;2)

25720112=1km/cag

258=x>-3

258=44;345

2581034356=√181

128155=29

259=(-∞;2;3/4]

2591592591598100=1

26=(4;∞)

26=1

26=48

26=(-∞;4)

26=π/3

26=√3/2

26=24cm²

260=П/8(2n+1)

П/4(2k+1)

260150114=1

260240=[3;4)

2610=260cm²

26101=[0;6]

2612=2(x+1)

261394241=1ден баска

261202=10

2618=4374

2618162=5

2620=±П/24+Пn/3

26231033=219

2624=1/4

2625=-3;5

2626=tg4α

2627=729

263=±П/6+П/6+2Пк

26310=-3;3

26324={-4;0,4}

2634322634=2

2635=160

26400=-10<x<4

2640990=37,5%

2640990=60%

264204=y=-x+1

26422=6 jane 7cm

26446=(686;1)

26446=(625;1)(1;625)

26480={3;4}

265=a)1,5 b)(-∞;3] c)(3;8)

26512=24

266=20

2660=2

2662=1/2; 1

26620=(-∞;-6]U[6;∞)

268=16(2x-6)

268120=(-2;3)

269=0,9

269=2/7ln/6x+9/+C

2692166=(7;1)(11;5)

27=7,29Псм²

270=(-3;5;+∞)

270327=19

271=(-∞;-7]U(1/5;+∞)

271=(-∞;0] U[7; ∞]

2710=70/9

27112=7

2712=84

2712160=(-4;10)

(-3;9)(5;1)

2712219423645=18*65/84

271391331270=0;1;2

27160=1,7m

271724=(2/7;3/7]

272={(0;1)(5/3;11/3)}

272=3m

272222=-12

2722711=121

27267262=±2

2727=(-4;0)

272703=19

27275=14

2728=-b-1

2728=-(b+1)

2728=-13;-1

273124=x=1,5

2731475135=-3

2732127312=туб.жок

273242071=49

274124=3

274231232=a b¹

274767=-1/2

275113132504313=1*12/23

2763=1

2763=2

2763210=(1;6)

2763210236=(1;6)

27635=160

277=-47П/14

27912812=(2;3)

27932=2

279813243=(2;3)

28=6

2804040=√3

2807063=3,37

280280=1

281033=5

281218=85

28150=(-∞;3]U[5;∞)

281502=7

2818=1.5; 6

282=(0;3,2]

282150=1

282282=√2/2sinα

28238258278=2

282812=(-1)ⁿ П/8+Пn/2

283670769623312031=23;31;97

283976151523=-15,92

2842231=3<x<6

28528454=ab

2854574=7

286=(2;4)

28635846=a²/3

2880=(-√4;0)

2883=144Псм²

288333=60°

28914=ymax=0;ymin=-25

290=(0;3]

290410290=9;1

29050=0

292059=100

29206=(-∞;4]U[5;6)

2921=-(x+3)(2+√x+1)

2921=910°

2923292=a+3b-1/a+3b

29272=±4

293=(1;9)

293112931=√3

29340=5

2942=x=√6;-√6

2952=-4

29543=x=9 y=9

296=[3;5]

29650={1;-3}

297=140

29713=4

298=4850

298210=60km/cag; 80km/cag

2983=3cm

29958113711=да 99 и 75





6=1/2

6=15

6=18cm²

6=27√3cm²

6=36cm³

6=9Пcm³

6=486

6=3(2√3+1) cm

60=a²(2+√13)/√3

60=√3(√3+1)a²

60=7*1/3

60=па(2квд)/3

60=45√3/3

60=R(2квд) √7/4

60=9

600=-0.5

6002502003=40 ;50 km/cag

60054=20

6010=10(√3+1)

6010=15m

60104=O(-6;-4), R=4

6012=9

601221122=2km

601445=343cm²

601549=132cm

6017=34cm

602=8√3

602=42*2/3

602216=9

6023=√7

6023=2/3(sin3x-1)

602545=15ga;20ga;25ga

60290=√2cm

603=3

603016=48П

6032=4√2П

604=18√3

6040316=40

60415754=cos(30°+α/2)

6044=2

6045=a√3/4

6045=arccos√2/4

60456=12√2cm²

605=942П/125 m(3куб)

60513=24√3см

60523225=6;14

6053=B=96; S6=189

6070=50°

6070=60°

6075=√3/2

6075=112,5П дм (3 куб)

60752=54cm

607527023715=2000;2000tg

609=9√3cm

610120=14cm

610120=24cm

6101445=70cm²

6101445=70cm³

61030=15

6105=25/3

6108=4.8cm

611=5

6116112=22

612=(16;4)

612=-√3/2sinx

612=±2/3П-П/6+2Пк

6120=24√5cm²

6120=36√6cm

61203=6

61212={1;1+log₂3}

612120154=64

6125=3

612642=2cm;14cn

61266=-12/a

6127=54

613=(-3;-1/6]

613=5cm

6130=(-3;-1/6]

613242=2a²c+3a e

61328=3

614=4 j/e 2

616=√3/3

616=-10;3

6161=3

61613=3

6175613=(5;-2)

618=B=12; q=0.5

61822=4

618232=x≥3

62=18П√2см²

62=6см

62=72

62=848

620=1.2kg

620=60cm²

62010=40km/cag

62122=П/2k; ±П/6+Пn

62122325=6;14

621310={3:-1:-1}

6214=132

62151=-1/3; ¼

621524=j.jok

6217=15x-1

622179=x=-1

622232=6cm³

62252=0.6dm

62263=(-∞;-3)(1;∞)

622832=(2;2*2/3)

6231230=9

6232=2x²+3y²

623222=11

62325132=-13

62326312=(1;log 2)

6237827=-3ab/4

624=1,2; 3,4….

6242=24cm³

62436=4kun

6251=1; -1/6

62510539294375030=500

6251413231=2a+3

6252=32

6252330=(-1;6)

6242=20cm

62611231=2

626612=1/6;6

62682=-3;0

627=1.62kg

628=Xmin=-2/3

6292=2ab/3c²

63=19

63=П/6+Пк

630=21√2cm

630=24cm;36cm

630=81√3/4

630=Псм

63030230230=3√3

63042=21; 15

63104310233=-57

631224=x=2

6321=(-2/3;1)

6321=0

63218632218232429=181α

63221353=3(2+√2+√10)

632272832792=5

6323=25

63241=[3;6]

633=2П/3

633=Пк

6332233=3/n

633354=370

634=24

63451226357=7/4

634513413331389=-20

63548337=1/8

635635142=2

6357287=1/2

636=1

63612=30°

6366211=(5;3)

64=Ø

64=2cm

64=tub.jok

64=48

640=[-4;6]

640=14

64025=(-1/3;-1)

6405=5376

64050=(-0.5;1.5)

642322=a²(a+1)(a³-a²+2)

642454212=30kg;24kg;10.2kg

6426642630=1/2

643=±6

643=48

643=3√3cm

64307=164m²

6432=(-2*5/8)

64325=6-a/9

645=6√2cm

640003=500

645546=(-∞;∞)

645680=5

647=24;42

648=1/3

65=√66/√6+√5; √55/√5+√6

65=15c; 10c

65=60Пdm²

650=15c ; 10c

65102074=40;25

654=3*1/3

6540=14kg

6540=26

654740=200;240;300

654750=200;250;300

6560=7.5cm²

6566=24

658=7a

6593252217=7

66=m>1

66=-36/e

66=1+√3/2

660=54П

660=27Псм²

660=72√6

660=9√3cm³

661=(-∞;∞)

6611=2

6612=-П+2Пn≤x≤П/3+2Пn

66123= П/3k, П/6+2 П/3k

661422=П/4+Пn

663=60°

666213=2

667=10cm

667=d=11cm

6710=3

6711=252cm³

6712317=1*1/9

672216722=1

6723511=3*5/8

67364552=(4;3)

675714=5

678826=√33

68=5cm

68=q=2

68=10cm

68=6cm

68=96П

68=94.08

68=7

681=26cm²

681012461=4

681013=12

681024=87888П/3

68108=240cm²

6812=13cm

6813=12cm

6813=240cm2

6813=h=12 см

68150=24cm²

68226822=-1

6823=16√3

6830=12

68305=120

68305=120 cm 2квд

684=(-2;-2/3)

6845=115,2

68460=12√8cm²

68560=12√6д

6860=2√3cm

687=216cm²

6874=112° ;106°

69121520=100

6920=140

6932722=0.3



7=14

7=13

7=49cm²

7=5cm;9cm

7=7 (1+zln7)

70=(0;7)

70=(35°;35°;110°)

70=140°

70=110ͦ;35;35

70=55ͦ және125

70=35°;35°110°

700234=400m²

70125=40л

70145530=180km

7020=1

7027=120cm²

7060=50°;60°;70°

70636=y=-0.7

71=[-1/7;∞) x≠0

710=70%

71125=y=-2x+3

7121=-1;2

71212=x>1/2

71214=11

71216=776cm²

71221225=18

7130=21

714=8

714=49

71430=24.5cm²

7149=x≥-4

7158=88cm2

717=√n+√7m

71721494=3

7177 11314=x>-5

7161697=6

72=(5;9]

72=5

720320=(-2;7)

72125=63

721354=6

72152586=46;40

721929=a=-3; d=4

7221=(5;-2)

7222=-3;1

72226740=-3;1

722282 612392=2

7224921722=48/49

7227552=-2

72275528422=-2

723=217/30

723=2 jane 5

7231=217/30

723149=a=5; S=-1656

72322=0,5

723237=0.5

72335=12

723427262=0.5;38/11

724=х=log₇4/2

72410=(-∞;∞)

7248=2m²

7249127976554=9

725=3

7251=x<-5 ; x>0

7253=1/3√113

7261332169=(2;2.5)

727=1/y-√7

72918726=2

73=(0;7]

73=x=24;y=25

73=1/2

73=x=29, y=20

73=2cm

73101302=y=-3

731325=(1;-2)

731523453=-1

732=2cm

732=2x*7³ ln7

73213512=2

732312=(2)

7332163=5

73323112=24;93

735=П/4x

735114225=5

73532=²√25-²√10

736=7√3 7/14

738738=√2/2

74=14cm

74=21

74=5cm;9cm

74=7n+4

74=9cm ; 5cm

7416=-2

742118137280=tub.jok

743=2+√3

743=84cm³

7441=x256; y=81

74521=7x6-20x4+2

7460=6√3m

74872011=44;48

74951424=1

7497=1

75=√3-1/2√2

75=√6-√2/4

75=375

7510=5

7515=1/4

7515=√6/2

7515=√3/2

75159=27cm²

751621=6

752=3.5m

752=375cm³

752159=27cm²

753010=25

7532701=-23;3

753514=30

75362=12

7537352=1

75415=21/8; 15/8

7544080440=176

7545015=60km/cag

75482=28m

756=60°

7562={1;7}

75623={27; 13}

7567575=6+2√3

757532=(-1)ⁿП/16+П/2n

7575752=0

75758025=20

758=12cag

76=253

761112=C=3; d=-1.5

762252=10

7636=y=-0.7

765=-1

7676242=натурал

77=49x²-y²

772273=18

77727=9

78=(1;15)

78=9cm

78=13

780432=-1.12c

78171=3

78187818=1/2

789=5

7891=92.9Псм²

78962=8.5;15.5

791273728=5,28

7913717=-53/90

79347934=√2/2

0=0

0=2Пn<x<П+2Пn

0=П/2+2Пn<x<3П/2+2Пn

0=(-П/2+Пn;П/2+П/n) nEZ

0=0;П

0=√2-1

00=(2Пn; П/2+2Пn) nEZ

00=жауабы жок

00=0+2Пn, nEZ

00=2Пn<x<П/2+2Пn

00=/a-b/

00=П/2+2Пn≤x≤П+2Пn

00=-П/2+2Пn<x<2Пn

002520042=1/8

0034120=(x-1)²+(y-1)²=1

004528625=2<x<3

01=П/4+2Пn<x<П/2+2Пn, nEZ

01=-1/4

010=1/kF(kx+b)

010=x=n nEZ

010=П/k12

010=П/k12 kEZ

010=a≠2 Пn nEZ

0100=(a-b)

0100=√b²-a²/b

0100=a≠2Пn nEZ

0100=П/4

01000128160=x≤3

010008099250614=1,6

01002211=[0;2]

010034120=(x-1)²+(y-1)²=1

01004240=-10;10

01004528625=2‹x‹3

01005170125=2,8

01005500840=5x²+8x²+9x-1

01012=(-П/2+2Пn; -П/3+2Пn]U[П/3+2Пn; П/2+…)

01012=11/90

010120=2ⁿ ln2

01012050502=3

0101212232=3

0101242=y=-2x+3

010125025191625=918

010012522=-a³bc³x

010012542328=x=6

0100133=1 ¼

010014=y=5x-3

01015=15

01015=7/45

0101744005=0,0147

0110192=y=7x+1

01103=0,01;100

011=….. cosα

011=2/3

011222212002=8

012=(-П/2+2Пn; -П/3+2Пn]U[П/3+2Пn; П/2+2Пn)

012522=-a³bc³x

012542328=x=6

01512=arcos(-12/13)

02=2;-2

02=3

02=П/2

020=lxl›1

0212=y=-8x+9

02123=0,14

02125=[2;∞)

02208=-√2-1

022100=Ж . жок

022215=3

022220041=-2‹x‹2

02231211=(-1;0]U(1;3]

02233100047=8m n

0223532=5a8b5

0224=√2

02260=xͼ(12;14)

023=(-√3; √3)

02303=arcctg0.3+Пn≤x<П/2+Пn

023=2/3

023320=3√2/2

024321=y=-4

024503=3кг

025045=15 ۫

02512557117=0,35

0251425264=1

0251521820418004=-0.5

0252=xͼ(-∞;-1/2)

025231=17

02528=-4

02531621402232021=(2;∞)

025321=2

0253216=2

0254116=x≥-4

027813=4,3

028220=[0;8]

03020302=1

031221=(23;4;24)

03122361=(-1;3)U(6;∞)

031231=y=-1

0315=(1;∞)

03211=x<-1; x>1

03211=|x|>1

0322=0,35

0322=3

032321=(-∞;1)

033=П/3

03340=-3

033421=1,4‹x‹1,5

03506018=0,105

03510337=x›4

03521=x=-2,35

0361=x›1

03740027=(-1;-∞)

04=2

0421016=xͼ(-∞;0,5)

04221=y=2

042560=(0,75;)

045025=15

04513=-20

0453201=3/20:1/4

0485085=1

05=2

05=(1/2;∞)

051=2П+4Пn nEZ

0512003=400к/с

0514166125=25/24

05153375=19

051555=5

052=0

05203=4,5

0521052=x>3

05222226=xͼ(-2;6)

052233214=-1/3

05226=-1/2

0524205231=2

05260=x›14

0526 0540=-2

05270=x› -6

053053=4

05312=2cosx

0534052=(2;∞)

05370=x>-7

0539018090=225°

053927=3

054=4√5

054211=[-2;1)U(1;2]

05423=x min3

05423=x min=3x max жок

056=7/2

0563525=x=-1,92

0583=7/12

058525=200кг

06023505=1

062=4/3

0623060=xͼ(-3;0)

0625182021=1,25

063=(1;4)

069528138=x=2,3

072767=1

07321=(2/3; 0,9)

07430=0; 10/7

0751241210=түбір жок

0758125480=түб ж

08=-0.18

0816255=2,5м; 2м; 1м

08231=x=1,5

0874908249=9,1



3=xⁿ+1=xⁿ-3

3=(-∞;1/3]

3=(a-3)(b-c)

3=[-2;2]

3=(1;2;3)

3=[П-3+2Пn

4П/3+2Пn] nEZ

3=-1/2x²+x²/2+C

3=-1/3sin²x/3

3=2П

3=3√6πcm2

3=3/(ln10)

3=18

3=(3;∞)

3=3/xln10

3=3/cos²3x

3=3cosxe 3sinx

3=3sin3xe -cos3x

3=36Псм³

3=3/4a

3=3n

3=3sin3xe

3=3x¹ex6

3=3x²ex²

3=x=П±5П/6+2Пn; у=±5П/6+2Пn

3=3x²+1/2√x

3=(П/3+Пn; П/2+Пn)

3= -3/8cos4/3x+3/4cos2/3x+c

3=3x²ex²4

3=4

3=4*1/2

3=2

3=60°

3= √72cm

3=9/2см3

3=9 есе өседі

3=sinx*3-cosxln3

3=y=log x

3=a+3

3=1,a π/1

3=1 кабыргасы 2 см тен

30=-1/2

30=69%

30=√2a³

30=πR2/4

30=-1; 0;1

30=arctg1/3+Пn

30=П/4+Пn/2; П/2+Пn

30=30°;150°;150°;30°

30=45°

30=60° жане 30°

30=75°;75°;105°;105°

30=П/6+Пк; кEZ

300=4

300=2

300192=20%

301=6 cm

3012=72√3П см³

3012060=Om=20cm

3015=60m

30153015730415730415=cosπ/30

301812=15cm

302=30°

302=√3

302=8 cm

3020=0,22м²

3020=9°-ka

3020=136

3020=2

3020=56%

3021=120m

30210=x=5П/12+Пn; nEZ

3021132171831=8;-3

3022122=(0;-3.5)(0;3)(21.21)

30230=x>-3

30233=П/3+Пn<x≤2П/3+Пn

3025=300cm²

302511=24cm

30251475020=30 mr; 200 mr

302525=24cm

302525=25cm

3027=10%

3027225=x=7/12

30292=450cm²

303=√3/2

303=1

303=2√3

303=25km/cag

303=15=(-∞;-5)U(1/2;∞)

3030=1/2(√3/2+sin2x)

3030=-sinα

303060=30√3

303305308=3(1-a-b)

3036=2√2

304=4√3

304=48+32√3cm²

3040=25cm

30342=-3;3

304226122=12dm³

3045=√2

3045=a3√3/48

3045=l3√2/8

305550100=20л; 80л

30562=7 jane8 cm

30593=n=5 b=48

306=6

30610=32cm

30643=9,5

3068=2,4cm

307=25cm

3075=400π√3

308=lg√3cm²

30810800=120

309898=2240

31=2

31=x²/2+6/11x

31=-П/6+Пn/3<x≤-П/12+Пn/3

31=x-3/2x²+C

31=α=arctg1/3ln3

31=xͼ[1/3;0,5)

31=-П/6+2П/3к; kEZ

31=П/3+2Пк; kEZ

31=Пn nEZ

31=(-∞;∞)

310=y=10

310=282.6

310=(-1)ⁿarcsin1/3+Пn

310=П/6+Пк kEZ

3102=5cm

31032=(1; 2)

311=9

311=a³+3a²+3a

31113=3

311113311=30°

31121=2 2/3

3112172=10

3112280=0

3112541=20

31132=[1;7]

3115=(-∞;-5)U(-5; ∞)

31172=8

3117212195250=3

312=(-∞; 12)

312=(0; 6]

312=3x²+1/2√x

312=(-1/3;1)

312=(П/3+2Пn/3 5П/9+2Пn/3) nEZ

312=±2 П +6n n EZ

312=±П/9+2/3 Пk

312=-1/3≤х≤1

312=х=П/3+ПК k EZ

312=y=2x+1/3

3120=18*1/7П

3120=2460

31210=(1/3; 1)U( 1;2)

3122=1/a+b

3122=b₁=2;162

31220=(2; 3] jane -1

31220=2/3k kEZ

312214356=9

31222341324=x<1/5

312231324=x<1/5

3223163305=0,5

3123225=2

3123312={13}

3124=32/27(1-ln3)

31240=j. jok

31242=32/27*(1-ln)

3125=4a-4

31251 2242121= x²+1

312548=q=±2

312548189=6

3125484=24

3125488=±384

3127=-3

31270450=780°

3128252253=112; n=29

313=√3/3

313=√3

313=20

3130=(0;1)U(3;∞)

313119=3

3131224=(0;3)

313156=1,5

31319195412=16

3132=120°

31321=1/6a(a+1)

313223133130=П/6

313224=3

31323=-6

3132537=2,5

313312=3900

31341=1

3135=6

31350=-8

3136=18

313632227=(1, 1)

31390=1<x<1 1/9

314=65

3140251524=1

314213=3/2√21

3144=а=-16/3 β=4/3

314589=13

315=1

31532=2

3154=-14

315405=-0,5

3156011560=2

316207=2

31624=x≤-4;x≥4

316281536=0;1/2

31634=2

3163924312232932=1/3a+2

3165=(x-3)²+(y-1)²=25

3174=1/2

3180=15; 12

318211213=1.25

31821236=3/y+6

318240=27cm²

318245=27cm2

3183=1/(2y)

3183=1/2y

31851626=±486

31975=7125

32=(-1) П/3+Пк kEZ

32=(-2; ∞)

32=(-500/6+20n; 50/6+20n ) nEZ

32=(9; ∞)

32=[0;∞]

32=[-3/x2]

32=±П/6+2Пn nEZ

32=√15/√21+√3; √10/√2+√3

32=4

32=0;5

32={-3;1;2}

32=√15/√2+√3; √10/√2+√3

32=1.9m³

32=-1/2

32=5/6

32=1/x ln³

32=-8

32=3

32=30°

32=150°

32=(П/6+2Пn; 11П/6+2Пn)

32=3x² sin 2x+2x³=cos2x

32=-60°

32=6x-1/3x²-x

32=9П см³

32=a³√3/6

32=1 2 3(римскиймен)

32=ш, жок

320=П/2+Пn

320=П/2+Пn;П/4+Пn/2

320=П/3+2Пn≤x<П/2+2Пn

320=(2;∞)

320=[0;9)

320=0; 0√3

32012=-7;-3

3202160=[3;4)

32040=25%-ke

320505=(-1)ⁿ+¹ П/3+2Пn

321=3/5

321=9/2

321=жауабы жоқ (sin3x*2x=1)

3210=(-3;-1)U(1;∞)

3210=6x+5/√x

3210232=(1/2;2)

321024=y=-4

3210942103=840

321112=(1;2]

32112=(1/16)

32112=1/16

321121233112=0.7

3212=x=3

3212=(0;1)

3212=-6

3212=-7/3

3212=x=5

32120=80g

32121=4/3 x/1-x

32121=x+1

321211=1/√10

321213143122=√521

3212213=30

32122131=-1/3; 4

321251=1/√10

3212735236=(1;-10,8;2)

32103=[0;1)U(1;3]

321302125=П/4

321311=1

321312=(1 жане ∞)

3213213=1

32132137=416

321322324315=3

321322478217=(3;∞)

3214(-1;-√3; 3+2√

3214=85

32141=5

3214160=2; 2*2/3

321435=7

3214832302225=2

321518=3(x+3)(x+)

3215235131251374=[1.3; ]

3216=0.8

3216=(x-1) (x+7)

321682=12

3218=x=-3*1/3 x=2

32180=туб жок

32181510=60; 69; 79

321827=3(a-3)²

32192=-1/3a²b²c²

322=(-2; 1)

322=1/a+b

322=2

322=-6

322=2(x³-2x)(3x²-2)

322=2.1/9;11

322=e𝟸

322=cos²α

322=x>0

322=П/2n nEZ

3220=(2;3] jane -1

3221=-2<x<2

3221=П/3+Пn≤x≤П+Пn

3221=[1/3; ∞)

32210=-1; 1/3

32210=П/4+П/2n nEZ

32212=4

32212=1cm

322122=3a-2/2a²

322129=-2

3221314=-0.8

3221535135171234=[1.3; 2.5]

32219225=1/8; 8

3222=2

3222=3 jane 1

3222=П/2+Пn; П/6+Пк

32220=4;16

322211=0

322212=141

32221202=3

3222125=24/5у-2х

32222202=4

3222221342=2ж/е 3ж/е 4

32223=[-8;2)U(4;8)

322239=(0;-7)

3223=[3;5]

3223=-3√3

3223=-6

3223=x²y-6x³

3223=y≠0 y≠0.25

32230=(-2/3; 1.5)

322310722=x=25 y=16

32232=tgα

32232128227=8

32232278=-6.25

32232323=3√6/2

32233=[1;∞)

322332132=[-1;∞)

32236=3(x-2y)(x-2y-1)

322360=5

322402=4m

32242439=x²+5x+6/6

32250=1*2/3; -1

32251=b=-7

32261434=x<0

3227236330=-√3; √3

3227253225=5

3227253225=(3;2)

3227329=(2; 1)

3228=3x2 +6x+1

323=50,24

323=2√2cm

323=a)-3;3 б)(- ∞;0);(0; ∞)в)jok

3230=-П/3+2Пn

323010=60km/sag; 40km/sag

3231=(-1;1-√5/2; 1+√5/2)

32313=5/12

3232=4

3232=[-П/3+2Пn; П/3+2Пn]

32321022=ш.жок

323213=87

323222=6cm³

32322296=(3; -1)(-3;1)

323223=2; -1

3232234=(81;0)

323234=[-П/6+П/2к;

П/4+П/2к]

3232343216=3x²/(2x-1)(2y+3)

32323682=27a²

32330=3

32331= тубірі жок

32332=-1;3

3233216=9

32340440=(3; 4]

32342={9;-8}

32351335=2

32352311=1.2

32355266=0.5

3235381=1

3236=19

3236=x=4

323624=[-1;2)

3239=27-b³

32390=x<1

32390=2

323927=(a²-3a+9)(a+3+x)

324=[0 ;3]

324=7

324=4

324=[0;7)

324=9/4

324=x

324=x

32416052=2

3240=(-∞; ∞)

324052=12m/c

3242=4;12

3242=[2/3; ∞)

3242=9м

3242=b

324220=5

324222=(-5;3)

3243=±√729

32435465=log 2

324405=-8√7

32445692220=-2

3245=18√2П см ж/е 18√2П см

32452=x112=log5±√log5+4

32494=0

325=6

3250=12

325=6;6

3250=arcctg5+Пк

32503045=2.95

3251=1.6

325103=33;-4

325132=-17

325143301=√19

32515 532=(-0,25; 15]

32520=5/3

325224222=-3; 1.6

3253=6x+5

325303=28

32532122=(5; 6]

3255=x=5/2-log5

3256=6x+5

32576=2+4log 2

3258=34/(5x+8)²

326=2x

326=ln (x+2) + C

3261=y=6x+1

32632321=0

326326=3/4sin8α

326515=1.7

32680=ж,жок

32690=2

327=x>-4/3

327=9cm

32710021233=(7/11;2/3]

3272440=(-∞;2)U(2;3]

3273239=54/x-3

327327=-6

32739=(-∞; 0)

327431=(1.5; 3]

3275221=5

328=a=12 d=4

3281=a)-40 b)-3

328130=(25;36)

329018030=0

32927=3; -1

329803452=4.5

3299=(-1.3; -3]

33=3 ln3-1/xln3

33=(∞; -1]U[1; ∞)

33=(b+3)(a+1)

33=4cos4x

33=[-3√П/2+6Пn; 3П/2+6Пn]

33=(n-k)(c+3)

33=(x-y)(3-a)

33=[-1; 1]

33=√3cosα

33=sinα

33=0

33=√7

33=0.5sin2α

33=0;3/10

33=(-1;∞)

33=0.5sinα

33=(П/3+Пn; П+Пn)

33=[-3П/2+6Пn; 3П/2+6Пn]

33=1

33=1/2sin2α

33=1-1/2sin2α

(sin3a+cos3a/sina+cosa)

33=30°

33=-9/e³

33=a)-3;3 b)jok c)(-∞;0)(0;∞)

33=a)x=-3 x=3

b)(-∞;0)(0;∞) c)jok

33=-1/3max; x=1/3min

33=Пn

33=2x/x²-9

330=-П/6+Пn≤x<П/2+Пn

330=2(2-√3)

330=1/2

330=П/6+Пn

330=П/9+П/3к

330=Пк

330259=19

3303=10°

3303=-2

331=31√13 cm²

331= √3

331=П/12+2/3Пк

33102=(0;22;0)

3312=-П/12+П/3n

331222123=x≥4

33123144=1200 млн. т

33132131=(2;1)

311333=(8;1)

33136=(0;27)

3314= -П/8-Пn/2 nEZ

3314271915180=1

3315=4

331538=12

3318=7

33191=-2;3

332=0

332=cos(x/2-π/2)

332=П/12+2Пn/3;

332=[-5;1)U[3;5]

332=-П/2+6Пn<x<П/2+6Пn

332=P(x)=(x+1)²(x-2)

3320=2√x

33205625=5;-5

33220=x=(-1)²П/4+Пk kEZ

3322101=7

33221250=-2;6

3322216=(2;0)

3322222326351122241=3

332223=1/b

332223=2;-1

3322239=(0;-7)

332236=-4cosx/2+1/2sin6x+3√3

33225414=1

33227=[-27;27]

3323=2

3323=3

3323121999=-1

3323933232=1

332432=-2; 1,5

332452=4

33265=[1;6]

33270=0,9<x<1 7/30

3328=3x²+6x+1

33282=5/18

333=213

3331=xͼ(-3;3)

33310=13

3332232=(0;2)

33323437294915=(3;∞)

3333=90°

33332=1/2

3333313=6;-6

333335=(64;1)

3334=(-2;3.1/3)(2;-3.1-3)

333632312=(2;3)

33411525527=64,5

334331=-61;30

33452=9x2-9x

334540=П/2+Пn; ±П/6+Пn

33496813=3

335=9x²+5x4

3353=[6 Пn; 4П+6 Пn]

33530=24

33535=6√6

33539=7

336=√3

33612=-3/b

33632227=1;1

336512=36

33652220=(4;1)(1;4)

337=49

337338=(-1;2)(2;-1)

3383=түбір жоқ

3392=(1;2)(2;1)

3393=-1/3

3393333=2sin³2α

34=(-∞;-7) U (1;∞)

34=√17

34=15/7 ; 20/7

34=15√3/4cm3

34=16П

34=-3/4

34=[-7;1]

34=4/x+3

34=4sin(3-4x)

34=5ne√7

34=5m

34=5*1/3cm³

34=6.25П

34=x≤3 x≥4

34=x³+y²=25

340=(-∞;-2)U(0;2)

341=a/a²+1

3410=3; 4

3412=0; 1

3412=7ab-1/a²

341231240=120°

3412545=(1;2)

34131=jayap jok

341322=2(3√2-1)

34134=[4;∞)

34134=0,6; 0,8; 2,6 kg

3413926411291=-1/2

34144=4

34170=500

342=17

342=4x-6/x³

342=x=2 max

3420=[-3;-1)U(1;∞)

3421=(1*1/3; 5)

342125164=√14

34213=6;0

3422=0,0748 m

342239232=8

3422928=6

3423=5cm

3424=5 cm

34245=-1;1/2

3424431640=1/8;1/2

342452=0,7

342462218= √2

3425=150

34250=162

3428=0,5; 0,8 m

342922332=8

342936=(x-4)(x²-9)->(x-3) (x+3)

343=-12(3-4x)²

3435=12; 11 km

34362318=48

34364348=2

344=шешими жок

3441421112=[1/2;1)

3442=4

3443=32x

3443=kez kelgen san

344344=0

3445=1 cm

344644=-3

3448=1;2;4;8;16

345=2³√9

345=[3x2+4]

345=94 cm²

34525=5km/cag

3456212231119=5/3

3456290=0,1

346=√2/4

346=30dm²

3460=3√3 cm²

34702=30

3480=18

348621541199153=(-2;1)

35=[-2;8]

35=110°;70°

35=252 Псм³

35=110°

35=3cos3x*5sin5x

35=4/5

35=2

35=20

35=-4

35=4 m

35=-arctg3,5+k

35=П/16(2k+1)

350=x=5

350=[=-4

351=7/15П+Пк

351=10.1/3

351083=44

3511=7

3512=±П/15-П/15+2Пn/5

35120=-2,2

35120=-22

351213=56/65

351412=235,2

3515252=a(3a-15ab+5b²)

35200=1050,5

35204=7√2/10

3520352044294429=tg15°

3521=60 cm

352140=60 cm

352125102=0

35217115=3,3

3522=4Пn

35222=-2

35231=0

352313=-24,1

352420=(a-5)(a²-4)

352420=(a-5)(a-2)(a+2)

35242=2

35251350=1

35273220=(-∞;-1)U(2;3]U{1}

352843220=(-1;1]U(3;∞)U{2}

352950=1

3532=-4/5

3532=2

353530=2/5Пк

35420=-17,5

3545=3x

35460=10

3547=12<xy<35

355=20 km/cag

355=-25(3-5x)4

35522=2√2

3553122=ymax=57 ymin=-55

3558352511=243

35622=8√2/15

3564=2

3565=22,75 kg

35675330=3000 ga

357=9/16

357=9/4

3572=108;35;37

3578298=9/10

3590180=-4/5

36=12

36=-63

36=252 Псм³

36=72°

36=3√2/2

36=27°

36=6

36=36П

360=1 cm

360=3

360=2 (√3 -> 60°)

3600=3

36024=120;240

3602514256580=5,8

36041=9 kyn

3605150=(-2;3)

36052321=-1,5

36100=П/2

3612=(-∞;-2)U(6;∞)

3612=3(a-2b+4c)

361202420011511402=0,3

36152=18;16 km/cag

36117= b=144° D=63°

3618332543=2

362=(1;5]

362=3cm

36218=cos²18°

3622=-3cos2x+2sinx/2+5/2

36225=36П

3623=-П/3+2Пn<x<П+2Пn

3623=9;12;15 мың

362323=-√3/4

36234=8;12;16

3625=[0;4]

362515=x=-4

3628=288Псм²

3628=288 Псм³

363=2Пn

363=-9sin3x(cos3x+6)²

3630=-П/36+П/6k

36303=14,4ece

3632924=3(x-3)/x+7

364=√18,25

364=5m

3645=3 m

36463000812=20a²bc

36521762313123=(-2;5)

3653314=-4805/2054

3665101263936=9

366=189

3660=18

3672124=700

367794463=7*1/7

368118=8

37=21cos7x

370=(-√7;0;√7)

371=3/7 ln/7x+1/+c

37112321113=33

37122=-21cos x/7+1/2tg2x+C

3713=3/7ln/7x+1/+3/2√x+C

371541891=9,5

37222370=(0;2]

3723227346911=6

372415352=x-kez kelgen san x≠-2

37294915=0.1.2

373127315=log 7 5;1

37327=2

37377373=x=1

37432=25

375=30 dm²

3752183322052=-3/2

37521836322052=13,5

3752=18 cm²

37535337=2

37571431=d=1.7; a=4.1

3773=7/34

378=80°

37837845151545=√2

38=142°

3802504=0,25

281=4*1/4

381=4.1/4

3813=-1/3

382433=±9√3

38260=24П

3828315=-5≤x<3

384386=2

385=2n

3850=11

385741274029=da

3879=1,5 cm

39=129°

39=(-∞;3)

39=[2;∞)

39100010=13%

39153139=3

3919=x≤-11

3924=[-∞;-6]U[0;∞]

39278123=1/9;9

3929224=3(a-2a)/a+3

39322164=(13/5;-4/5)

3932622=3x/2y

39413=4<x<4*1/3

3960=18√3

398=9500Псм²

3981223=(1;2)

,(16;-28)

4=(40-8)cm²

4=(-∞;-4]U[4;∞)

4=1/cos²x+1/sin²(x-П/4)

4=16√2/3

4=10.2/3

4=2√2

4=16√2/3 cm³

4=4π

4=90°

4=3x/8-1/4sin2x+1/32sin4x

4=4П-8cm²

4=5/2

4=5x-3a/4

4=8√2/3cm³

4=x=±(2П-4)+2Пn

4=y=1/4x+1

4=18

40=140°

40=30°

40=2,5%

40=3

40=40;40;100

40=П/4+Пk

40=П/8+П/4

40=Пn

40=ПR²/9

40030030=0,5; 0,8 m

40032503=450 m²

4003250840=480m

40045=4√2

40047007=0

4010=43cm²

40101012=1√15/4cm

4012259=2√17+7√2+√82

401253015=60 km/cag

4013715=22,5 km/cag

40140=-1

40152=30 m

4016=2sin17°cos33°

4020=1/4+1/2cos20°

40204020=1/2

4021=ln3

4023=1/4(√3+1)

4025=4cm

402525840=540cm²

403024=364ga

4032180=4;6

4032358=3;5 kg

404=0,8

404040=tgα

40424=15 tonna

40450=100kg

405=√2/2

4050=√2cos5°

40508070=-2

40523265642=-3;1

40530=

4075210=700

4080212010=40(3+√7)

408025=25 litr

41=екі

41=-5;-3

41=4*2/3

41=(1,3,9),(1/9,7/9,49/9)

41=8:1

41=2/1

41=[-√3/18; ∞)

41=8√5cm²

41=Пn≤x<П/4+Пn

41=-П/16+П/4n; nEZ

410=1

410=2 cm; 5 cm

410=П/8+П/2k; kEZ

4102=(-1;2]

4102=√10-√2/2

4102=10,816

410212=3

41021240=3

4102160=1;3

41031={10;1}

4104=11,698

41042=y=-2

410482=24

410513=4

410719=145

411=2

410055=6√17

41122=tgx

4113241312=B(3;11;10)

411644524=(-1/5;1)(2/5;0)

411802=40;9 cm

4120=16П

41200=1248 tenge

412102=1

412121=2

4121248=60

412172=2

4122=1

4122=11

41221=4

4123102={11;-3;4}

4124=[-6;1)U[3;5]

41253=3;-2

41253=-2;3

412630=24

4127=24 m ³

412801725=20 П

412853231=2;1,5

4129523911=-6

413=-П/24+Пn/4; nEZ

4132=-15

4134=8x -1

413427=3

414=1/√2

4141=8x

41419655=1

4142133=4ln/x/-1/4x-1/2x+3x+C

41423=41a-5/12

414320=x=3

41442=(0;1)

415=20 km

415=221

41510=-15(4-1,5x)9

4151312=1*1/8

4151625=1,6

4152321428045=10

415255154=2,5

4154258=±1

41621=-4;4

416431645164716=1,5

41833292=arctg10+Пк; кEZ

419=1600П см²

42=√75 cm

42=√x+2/√x

42=0;-4

42=15%

42=(1;8)

42=-15/8

42=180

42=2(2-x)

42=-2≤x≤2

42=-32

42=30°

42=3П/4

42=6

42=-8e

42=sin²α

42=sin4a

420=(2;3)

420=20n; nEZ

420=Пn

420=32/3

420022=1,02

42005=13

4205=F(x)=(4x+2)

√4x+2/6+c

421=П+2Пк; kEZ

42102=xͼ(-∞;1)

421112=0

4212=7/25

4212=log₂3

42120=16П√2/5 6 дареже

4212124247=-11±√105/4; ½; 2

42122=83

421221=5/4

421230=-2;4

421240=x=2

4212424=4;1

42126=(8)

421290=-1,5

421317=1,5

42134215=x=0,7

42143=191/43

42150= tybir jok

421505=П/4+П/2к; kEZ

421715=15

42172=2

42180=x>2

422=2;18

422=[-98;2)U(2/10;2]

422=±arctg(1/2)+Пn; nEZ

422=-1

422=4

422=-4/5

422=(-1)K П+4Пk, kZ

4220=1

4220=П/4+П/2k; kEZ

4221=y=z+2-П/4

422141312=1;2;5

42222=0.2

422222=8

4222223=a(x-y)/x+y

4223=14 cm

422322632=30

42242=16

42250=jayap jok

42261832=[-2;1]

4228=-26

423=-6*ln2*4

423=1, 9, 17

423=-2sin3α

423=83

423=aͼ(4-2]U[3; ∞)

423=-2sinα

423=экстремум нүктесі жоқ

423103190=5/4

4231162=0;3

423123=90°

42318=36; 4

4232=-2x²+6x+8/(3+2x)²

423222024=3

423223=2

4232282=en kiwisi f(x)=-130

En ylkeni f(x)=14

423232=arctg2+0k; arctg 2/3+0k; kEZ

42330=2/√3cm³

42340=-8,3

4234422323=-468

4235220=a³(5(a-2)

42363238=(-3;33)

4236770=3.5; 5.5

42371=24

424=82x

424=sin²x

4241=(-∞;+1/2]

4242=32

4242=64x³-1

42421=3

424214=±arccos1/4+(2n±1)П

424222=П/8+П/2n

42424=17/16

424242162=b*2a/4(b+2a)

4243=[0;2]

4244=[0;21]

424424=1/2√x+2/x√x

42448412=2

4245=4П

4245252=0

425=8cm/sek

425=25

42503=6

4251=y max=5,ymin=-4

4252=5

42521625225=j jok

4252526=-5

425402=-13/15

42542145=3/y²

425616=±20

4256165=20

425626=q=±4/5

4256540=2

426=3/4

426=(4;4)

426222=90°

426222242=cos8α

426222242=cos α

4267=x=-3/14 max

4269=8kg

4269223924283=-1

42702=1; -15

42730=-1; -3/4

427301=6

4282=49

4284=4(x-1)2

42865816=S=1488

429=3 m

4292102172=12cm³

43=-1/2

43=10 cm

43=12 cos 3x

43=32dm

43=3 sinx-4cosx+c

43=5cm

43=50dm

43=2+

43=6

43=irracional san

430=2

430=8П см³

43045=4√2 jane 8

4305=10

4305123=7

431=(1жане 9)(9жане 1)

431=8;3

4311=b₁=8;q=3

4312=(-∞;∞)

4312=(-1) П/24+П/12+П/4 n.

431324=6

4313241312=bB(13/7;61/7;54/7)

4314=2*3/8

43182219=4

432=√11cm

432=√x

432=1;2

432=2:1

4320=x=8

432064={4;3;-2}

4322154=[-1;1√2]U[1√2;3]

4323=y=2x-1; y=0.4 x+2.2

432403=106

4324=1; 4

43242=(0;1]U[2;3)

43242=1

43245=12x²+8x³-5x4

4325=(-1;4)

4325373120=0

43281073=7.49 m

4328653=4.55 m

433135=7

4332320=(-∞;-1]U{1}U[2;∞)

4333=3П см²

43341873=(9;8)

434=-1

434=1/6(√2-2)

434=-1/2cosx-cosx/2+C

4341013=(-72/5; 0)

434235=210

4342432=-4;-1;1;4

4345=4√5П

435=x=0

435217115016=1

4353715216512=0.6

435375=4

4360240=√13

4360240=2

437={4;-3;7}

4370=30

43702=30cm

43730373015=1/2

438=32√3

438151516=5

44=0

44=1

44=[-1;1]

44=(-4;-4)

44=cos2α

44=x≠-4

44=П/2

44=П/4+Пn

440=П/4+П/2n

4412=1

441316=(64; 16)

441522=39; 17

441717=-153

44212=7/25

44212=[-5П/3+4Пk; -П/3+4Пk]

4422=(a³+b³)(a-b)/ab

44222=1

4423=8sos4α

442322=5

442325=1.8d+1.25

4423322=4a+4x/3(a+b)

44273=3

44281321=a=6 d=3

44292=25 cm²

443=-17

443=-2

44320=±П/12+Пn

44332=-1; 0; 2

44361=189

44381=189

444=Пn/2, nZ

4444=0

444444=(-4)

4448=41

445=(-∞;0.8)

445=32 cm³

4456060345=√2/2

4490=48 m

45=a-1/a+1

45=0.5a²√2

45=0

45=54cm2

2H√3/3(1+√2)

45=26 cm

45=3√3a²

45=cosx-1/xln4

450=20

4502=0.75

4502=3/4

45063180261803902=cos³ 4a

4506712=15

45120=6

45123=3;-2

45124223=211/12

4513530=15

4515=√3+1/4

45180270=1*1/3

452=-3/5

452=-7/24

4520=-3/5

4520=j jok

45200=205

452021=29cm nemese √882cm

452031=5 cm

4521352=2 tgα

4522=16/3

4522=16√2

4523831=5

45224=2√2

45246424127=7

4525225=-√5;√5

4526=15

453=-5

4530=13.5

45320=8

45320=j jok

453233=a²-b²/3

4543=6П

4545=ȹ=60°

4545162=122

455162=122

45554545=tgα

4551471356=-2*1/2

45520=10

456=36√6

456=10 cm; 18cm

456=20 cm²

456=9 jane 5

4560=90°

4568=42

45620=10;5/8 н/е -10;-5/8

4562104=188

457239914=x=1

4582181113=4*7/16

4586=56

459341291=0.6

46=16cm

46=3; 3.4/3; 14/3

46=15П см²

46=2

46=11/9

46=4(√3+2√21)

46=8 cm жане 12cm

460=24

460=2

460=8cm2

460=8√3π/3

46050753=-24

462369=8

4630=12

464014=x+7y+4=0

46432550=11

466=15cm

4660=16П

467=48cm³

46891218=2

469284=168

47=-7e

47=7 ln7

4710116=25

47122102310=-10

4721=-1;2

4721=(2)

47212=-2

47286=20,8cm

4730=43

473073075=1/2

474=-9

47532123=10

47571233457025=7

476=-24/(4x+7)7

4773=cos13°

47743=(-∞;17)

48=1

48=3

48=66°

48=8

48=16

480=50

480165=15cm

48112=n=7

482=4cm

48212=8

48240=12cm;8cm

483045=64

4832=8

48345=12cm; 16cm; 20cm

48410=[-2;1)U[2;4)

48512=a

48543=36

489034=41*1/5

49=17.6

49=846

49=25

49=2:3

49=156

49=24.5; 24.5

490=48 m

491=8tg; 5tg

491=5.4

491017=12

49111740=(0)

4912344727=3

49139432=1/4

491442=8m; 18m

4917254=9.8

4923270=-2;1,5

4924191217212=1/2

4932=7km

494=15

495=53

4952=8cm; 18cm

4952446=36*25/72

499654=9 nemese y



8=16m

8=16Псм²

8=16m

8=8√2

8=22

8=3

8=4√3cm

8=44

8=q=2

8=V=2Па³; S=4Па²

80=50°

800025100=14kun

800592070=80;100;90

80120=4500cm²

801207200321=30y;40y

801245=3

8016=20

80160=100см

8018050=50ͦ

803=546/7

80529127=4

806=-4

8074637=1

808=10cm; 6cm

808204=20km-cag

81=(80;∞)

81=1/2;3/2

810=96√7

8100=3800л ;4300л

8102040=ctg10°

81025=0.5

81025=(1/2; √2/5)

81060=40√3cm²

81100000=8cm

811040=12

8110827=376

82132241 552521=(3/14; 1/14)

81138216=(2/3;4)

8114641=1/11

8114814=12

812=±П/12+Пn/4

812=400П

812=4.8cm

8120=24√3

812121=(2;6)(6;2)

81221118=9-x/x+2

812232=1

8122321412333371=1

81316=5

8134913=240

8135279363497=890

8135128=60°

8136=240

814123362=(9+x²+6x)(9-x²-6x)

81417=1/5

81444=5

815=7cm

815151=(3;5)(5;3)

81517=8.5

81534215313=7*7/20

816=20

816=80Псм²

81634=9(12√2+17)

818=156cm²

82=4cm

82000485=1742500

8210125=-1

821135721=0

82132221=0,25

82132241552521=(3/14;1/14)

8213432=x<4

821845=√185

822=[-4;4]

822=48cm²

822=8

82211=(2;3)

82211=±2arctg(√2/2+2Пn)

82212=21cm

8223245=8

822342=13824

82245=2

8225217=6*2/3

82255147=6*2/3

8230205=6.25

82323=4 ln4+3

82371=1/7

8242=-√2/2

8242132=-1/4≤x≤1*1/2

824525421=1.6x²+5.5

83=384cm²

8311=3

8316=(1/4;64);(8;2)

8317231001=-4

8317231001=64

83232302=5

83233243=x -1

83251=2

833=-4.8

83323=1

833230=1

8345=32√5П

8345=8x -12x³-1

836237=8x -18x 5+6x²

83829=47m

8393=3

840=(-4;8)

841=x 3/8

8425=12;7

845=32cm²

84546=8cm

84816=0

849614=868tg

85=4*8/13m

8500=16

85115=8.5;10;11.5

852=4.5cm

852=9/2cm

853518=175km/c 90

853525=0

856=50cm(2квд)

8560=120П

85721=29

86=50cm²

860=16√3

860=176П

860=32cm

860=4cm 4√3cv 30°

8614561=7/9

86410509=-57

8652=13cm;5cm

8655=-1

86610155=a=2; d=3

87=28

870=(-8;7)

870=30

870=-8;7

87103=-2

87103=3

871039=-2

8728726132=10000

875=20

8755617=3

8756175=60

877787=0

878=√15cm

88=44°

8803575=429аиел 143бала

880858=7.8; 8.8 cm²

89=5;13

89=81/14

1=(0; -1)

1=шеш,жок

1=4√3/27

1=(1;0)

1=1/sinx

1=t(1-x)

1=1/cosx

1=(-∞;-1]U[1; ∞)

1=cosα

1=√3-1/4

1=√x /√x-1

1=0

1=-1; 1

1=-1/2

1=1/2П

1=1/√π

1=1 sinβ

1= L + tgx

1=2√x+c

1=2Пn<х≤П+2Пn

1=(-П/2+Пn; П/4+Пn]

1=(Пn; П/4+Пn]

1=2Пn, nEZ

1=2Пn, П/2+2Пn, nEZ

1=8см

1=a)-1; 1 b)(-∞;0)(0; ∞) c)жок

1=e ;e +1

1=x≠Пn; nEZ

1=x≥1

1=П+2Пn; П/2+2Пk

1=x›1; x≠Пn; x=П/2+Пn, nEZ

1=x-x +c

1=5

1=-П/2+2Пn<x≤П/2+2Пn

1=2

1=[2; ∞)

1=П/2+2Пn; nEZ

1=-П/2+2Пn≤x<П/2+2Пn

1=П/4+Пn; nEZ

1 (ctgx=1)= П/4

1=a)-1;1 b) jok c)[-∞;0][0;∞]

1=cosa

10=(0; 1/10)

10=(0;1)

10=(-1;0)

10=(-∞;1)U(0;∞)

10=(-∞;0)U(1;∞)

10=П/2+2Пn

10=xⁿ+¹=xⁿ+10

10=15

10=П/4

10=5√2

10=20Пn

10=23

10=xͼ(0;0,1)

10=3√2

10=45

10=5

10=5√2см

10=100

10=50см

10=5см

10=60см

10=a-b/10b

100=40۫ ; 40 ۫

100010=13%

100010010001=9

1001=x=0,1; x=100

1001025=13*1/3

100150=110۫

1002=500П/3см

10020100=380

100202=10

1003=101

10065=-2970

10081121275=0

1009998=50кг

101=y=-x+3

1010=(0; 1)

1010=3π/2

1010=37,5см

10101050=2550П; 2450n

10101112=2

10101260=480√3

1011020=5км/с

10112935=19*41/60

1011455612=1*7/11

1012=75

1012=8

10120=10√3/3

1012002=140

1012101299=-1

10124=25/4

101245=30√2

1013=10/3дм

1013=120dm2

1014=30%

1015=6

1015=15cm

10150=10см

1015025=(4,5;0,5)

101515=-1/3; 5/3

1016=4.8

1016=6см

10172118=144см

10172118=1512см³

10174=25см

10178=6см 15см

1018=288+90√3

102=(х-1)+у=4

102=1/х-5

102=12см

102=(-2; 5)

1020=х=1+lg2

102040=10230

102068=90°

10210=-3П/40-Пn/2

10210=түбір жок

102131=11

1021310=6

1022=-5sin x

102222=3

10222304616=9/3

102235=±1; +√6

10231=(-∞;-5]U(-1;2]

1023513313=1,6

1024=5

10247=676П

1026=60

1028=2%

103=(-2;5)(-5;2)

103=(2;3,5)

103=1; 250

103=81

103=-П/3

1030=(-∞;-10]U(3;∞)

103048=5/sin 48۫

103056=90

10305=10

10305=2.5√3dm

10305=5√2

103050=60cm

103113311=3√3

103134235=49кг

103134235=49,686кг

1032=30۫

103206=-18.9

1032132=2*7/7

103235=14

103242=a=-5

10325=40

1033=1*1/4

1034=4

1034204322=5a³b³ /b-2a

1034875=√3 или –

104=0,3m

10405010=5

104133=13

104212=48.4

10445=21км²

1045=500г

1045=125n√2/3

1045=60;70 км/с

10453=5

1048=10c

105=100۫

105=2

105=√2(√3+1)/4

105=4;5

105070=1/8

105122950=3

1051515165225=2

105195135=-√2/2

105434=1/10

1056=5кун

10570=у=2х-1,4

10575=0

10575=-2sin 15

1057515=1,5

105912=54

106045=20/1+√3дм;

10√2/1+√3дм

1064552=120

107=-1/8

1078673=2,3кг

108=8

108=d=3cm

108=96П см³

1080=8

1080318=0,5

1080801070=-1 или +

1083=119,2

108335=4,4

10835=-3

108560=9саг

1090270=180۫

11=[0;1]

11=1; ∞

11=(-∞;-1)U(-1:∞)

11=sinα

11=cosα

11=1/1-x

11=П/4+Пn<x<П/2+Пn

11=1/cos α

11=2/cosx

11=2

11=3П/2

11=a-b

11=b-a/ab

11=cos² α

11=-sin² α

11= sin²x

11=-П/z+2Пn, nEZ; 2Пk, kEZ

110=1

110122=3П/4

110411=50

111=25

111=0

111015=2:3

1111=(a-b)(a+b)

1111=2

111112311111=3√2

11111 250=(4; 3) (4; -3)

111111=DB

111111=arctg√2

111111151111130502=300

111111506=10

1111106145=64

11111250=(4;3)(4;3)

11112113151=√38

11114511130=a²(4+√2)

111146601145=40√3

111160145=a²(4+√3)

11121114=7/16

111211141118=7/16

11121312=15

11122132=910

1112340441=тік төртбурыш

1113=1/36

111315=13

111340=1/4

1115114201=3 см

11153=3363

111817=a=139 S=1275

112=(168۫ ; 68۫ ; 44۫ )

112=(-∞; 1)

112=(-∞;-1)U(-1;1)U(1;∞)

112=1<x<2

1120=-0,5

1120=-1,2

112030=1см

1121=30°

1121=2,5; 2

112102=b=0,5 b=512

1121221=1

1121221=1-y

11214=2/3

1122=2/3

1122=8м²

11220=(0;1/2)

112220 131420=0,4

1122 1314=0,001

112242220=-13

1123=4

112310160=8

11232143=101

11232143=120

112328=20√2см

11233478=3

11233723=q=5.b=300н/е q=-6.b432

11237=68۫ ; 37۫ ; 75۫

1124=8

1125=4x-3y+7=0

113=19

113=(-∞;3)

113=0

113=(0;1)

113=1

1131090=5

11311126=-3

11312=-1/6

1131231213121=-1/6

113123131=0

11313131231=³√x+1

1132=√m-√n/m

113323=2

113412=13

11345214=2,9

1138=36

114=-1

114=-√2; √2

1141=1/5

1143=(x+4)²+(y-3)²=25

114310125231=-0,7

1147=58cm

11472=116см

11502=2,24

11510=6км

115105051105=1+√х

115121=2/5

115170=200т

11532=1

11602=15см²

11614127=18/17

116212=-13.5

116212=18,5

116213=5*1/3

116515=297

116712=28

11673=1792

116837=d=3

117=136

117120=5000 т

1172349221470=4,1

118124=27

118125=99/8

1182125=99/8

119711423=10

12=(-1)ⁿ+¹ П/6+Пn; nEZ

12=(2П/3+2Пk;4П/3+2Пk) kEZ

12=[1;5)

12=-П/4+Пn; П/2+2Пn; 2Пn

12=(1000/99:10/99)

12=√3-1/1+√3

12=36(√2+1)П

12=(2.5;0)

12=2П/3+2Пk

12=√7

12=0

12=3/2

12=1,5

12=1/(2cos² x)

12=1/sin 2x

12=-П/4+Пn, П/2+2Пn; 2Пn

12=x<-0.5;x>1.5

12=(П/6+2Пn; 5П/6+2Пn)

12=1200

12=288П см³

12=315

12=-30°

12=36cm2

12=36√3см²

12=1/2

12=sinα

12=4

12=48см

12=6√2см

12=60۫

12=120°

12=-П/6

12=±2П/3+2Пn

12=7√24

12=сos x

12=x<1; x>2

12=4√3

12=(-∞;∞)

12=П/2+2Пn; П+2Пn; nEZ

12=т. Жок

12=х>2

12=х≠-2

12=х≠-1; х≠0

12=П/3+2Пn≤x≤П/3+2Пn nEZ

12= (x-1)²+(x-2)²=5

120=(-D;-1)U(-1;1)U(1;∞)

120=(-∞;-2)U(-1;0)

120=(П/1+2Пn; 2П/3+2Пn)U(4П/3+Пn](3П/2+2Пn]

120=П/2+2Пn<x<3П/2+2Пn

120=-1/2

120=x<0; x>2

120=√2/48а³

120=4/3

120=a3√2/482(

120=x²√3/3

120=√3h/3

120=100°

120=а³/6

120=πa3/4

120=|x|>1

1200=(-1;-2)

12004=10П/3

12010=5

1201101115111=38,8%

12012=128√2π/3

120123=20; 40; 60

12014=4

1202040=4

1202232=4

12023222=3

12032=19

12035=7

12040=10П/3

12040=60° u 80°

1204060=72б4

1204230=16

1205=4; 5

1205=j.jok

1205=62,5 jane 57,5

1205012=48km/c; 36km/c

12052=20√3

120666036-1,64

12075=160

1208182122115=2

121=(-∞; -2)U[1;∞)

121=√x+1+ln/x/+C

121=5

1210=120

1210=DO=8cm

1210=8см

1210=П/2(1+4k) kEZ

1210064=8√2

12102422046=n=10 q=Z

12103=48см²

121030=60см²

1211=0б5

12112712=(-3;1)

12116243=4

1212=5П/6+2Пn<x<5П/3+2Пn

1212=1

1212=49/24

1212=(2,5;-2,5)

1212=tg²α

1212=(-П/4+Пn/2+Пк;П/4+Пn/2-Пк)П

1212=(3/2; -1)

1212=П/6+2Пn≤x<П/3+2Пn nEZ

1212=1/sin²α

1212=0.25

1212=1/4

1212=1/5

1212=(Пn; ±П/3+2Пк)П

1212=2,5; -2,5

1212=360

12121110=0

121212=1

12121212=x¹/² /y¹/²

121212205=(1/2; -1)

1212130=130°

121214=3/4

121219=3км/саг

12122=(-2;1/3)

12123=-1/5

121222=7

1212323=d=-0,2

1212381=(-∞;-2)U(2;4)

12124202522=1;2

121243220=[-3;-13]U[1;∞)

121253=9

121270=110°

1213=0,5

1213=1/7

1213=65П

1213=8

1213=x<1

1213=-3/(2x+1)²*√2x+1

12133224=-9,6

1214=24см

121411=17

121418=4м

121418=4см

12144090=5*5/8

1215=(10;-5)

1215=2/5

1215105=-3

12158=10см

1216=10

1216=AD=20cm

1216=20см

1216612=599,3

12168=6,4см

12179=0

1218=57

1218216=3*7/6

121840=6

1218536=13*1/3

121860=144√3π,V=432π

12188=6,26

122=Пn; П/2+2Пn

122=(-1; 0,5)

122=0

122=3cm

122=1/2

122=[П/6+Пn; 5П/6+Пn]

122=-2/x³+2e sin x

122=3

122=П/2(4П+1) nEZ; Пn

122=ж. Жок

122=cos2x

1220=0; -5/6

1220002=5/6

122001050=10300

122015=1440cm²

122015=60km

1221=(П/2+2Пn; П/2+Пк)П

1221=-1/2

1221=суйір

12210=x=-П/2+2Пn nEZ

122101843=215kg

122105=4

122111=1/y²ⁿ+¹

12211121=(1/2; 1)

122132=2

122133=5/6

12212=cos²α

122132=2

122141=7

1222=-2

1222=Icosα-cosβI

1222=cos²α

1222=2cos 2α

12220=П/2+Пn; nEZ

12221=(1;2]

12222=a-8

12222=141 .1/3

12222=143

12222=144-√3

12222318=-1<x<1

122244=y=1*2/7

12225301212=-4

12225303=-26; 875

122231=x-4y-2=0

1223=(0; 3) (4/3;1/3]

1223=x<-3;-3<x<1 x>1

12230=П/4+Пn

12230=0,6√5

12230=x=П/4+ПR R=Z

1223122=(-∞; 0,5)

1223281=-6

122330=-(П/2+1ПR) REZ

1223421=xͼ(-∞;2,5)

1223421=x>2,5

122362=-31

1224120=П/4(2k-1)

1224124=x=4

12243=6cm2

12243648607284=1/128

1225=676П

1225=6

1226=x²+(√6-√2)x-2√3=0

1226022601=-1

12264=54

1226623=27

1227=18m

12271322122=12+√84

1227152=14+√14

123=25П/18+2Пn≤x<3П/2+2Пn

123=(0; 2/3)

123=(-3;-2/3]

123=[-1; 3]

123=(-∞;-1)U(2;∞)

123=122

123=15cm

123=3,5

123=30۫ ; 60۫ ; 90۫

123=a

123=(-2;1)

1230=(0; 0)(√2; √2)

1230=45°

1230=6 dm

12311=[2;∞)

12311212=0,99

1231123=2 m²; 3 m²

12312=1; 3/8

123125=0,25

12315=6

12315=8

12315= jauabi jok

1231677136612=16

1232=(√2+√4)

1232=(4+2)√6

1232=(П/6+2Пn; П√3+2Пn]U[2П/3+2Пn; 5П/6+2Пn)

1232=121

1232=0,5

1232=2

1232=П/3

123214=25

12322=ctg² α

123221=2cos α

123222=141

12323125=3,6

123223132=3

1232323=2

12326=54

12329=(1; 0)

123321=(13^-5)

123324681015=1

1234=2√х+2+4 cos(3-x/4)+c

123402=12,08

123404=10,32

12344=[-24;0]

123481216224=1064

12349=a=2/3

1235=162

1235=11/(3-5x)²

1235017=5/6

1236=50,4

13 36=-4(√3-√6)

123636252=√6

12389=1

124=[-П/4; П/4]

124=4(1+x-x²)²(1-2x)

1240=108

1240=45x51; x≥2

1240=88

1241=jauabi jok

12411=26

1242=П/2+2ПR; REZ

1242=y=-2x+3

1242242436=x-2/x+6

1242402=6

1243=3

1243=-21; 22

1243123=(3/4;2)

12434=q=3

12435=3

1245=30°

125=27

125=130cm

125=65/17; 156/17

125=0.8

125=2;7;12;17;22

12500000012=300km

12500760=510

12510=65cm²

125113121=1

1251242=xͼ(2/3; ∞)

125175825=94,96

125213=2

125224234=(-4;0.5)

1252251=1/625; 5

125240=(-3;-√5)U(√5;3)

125257010840=-2; -1

125315004053=-0,2

125322=1/2

1254=3

1255125125=3

12552122504=1*1/3

1257=2√3+√7/13

126=a=6

126=4 kunde

1260=12+6√3

12630=18cm²

1264866=-728

1266=5

127=3,4

1270=3,4

12710=4

1271013=(2.5;4)

127121=3

127121212155=10

1272456=(-1;-2)

1273=7<x<15

127312=9√3

128=(-a; -3/2]

128=10cm

128220240260280=4,5

12824402=(-4;-2)(2;4)

128313183=√2ab(a+b)(ab-1)

12860=24√2

128889=0

12909192179=1

129292930=9

12930=27

12945=3cm

13=1

13=-1/2kg +x2/2+c

13=шеш,жок

13=(0;-5/3)

13=1/3

13=-4/9

13=2√2/3

13=3sin3x-1-cos 3x

13=4;-2

13=9; 1

130=50۫ ; 50۫ ; 80۫

130=130°

1300=1

130110130110=-√3

130323=5*5/12

1307523512=1

131=16

131000=(0;9)

131000=13/100

1311=3

131102341684=3/4

1311350=y=-7

1312=156П см²

1312=25П см²

1312=65Псм²

13121=(-1; ½)

131220=162

131222=x<6

13128=50cm²

1313=120°

131312=90

131415=28cm² AOB

131415=5/13

1314155=3π

131514=252

13154121162=5

131548=10cm

13172177=1

1318=1; 17 cm

131812=896П

131924=22

132=[9;∞)

132=xͼ(0;1/9)

132=-17

132=1/cos2x

132=1/sin2x

132=√a+3+2/a-1

132=1/3±gx+c

132=127

132=3.5.7.9.11

132=35

132=(П/3+2Пn; П/2+2Пn)

1321=(-1;2]

1321=(3/2; 2)

1321=3√4+ ³√2+1

13211=(3/2; 2]

13212=11

132135132=x>3

132168=12

13221=(-1; 0)U(2;3)

1322113532=(-∞;-1]U[0,8;1]

13222223=[4;4;5)

13223103=xͼ(-∞;0)

132291=10

1323=12

132343=x

13239=(1;2)

1324=-15

13241324=3√2

13241324=4

132421=boladi, n/e 8

1324231=(-3;-1/3)U(3/2;∞)

1324514=13

132462439=(1;3)

1324041549=2,45

13252=144П

13253331=2; -9

132568=[12; ∞)

132578=M(-2;5;3)

132613127=x<-2

13263132136=16

1327=105

1327=203

1327501=-40

1329=(-∞; -4)

13293=n=5; b5=48

1329575=(1/2;3)

133=П/16+Пn/2≤x≤3П/16+Пn/2

133=догал

13302=2√2 13;0

1331=(2;2)

133122=-133 :a²+6a 410cos x/3+sin x/2+c

133122=-cosx/3+sinx/2+C

1332393101=0.5

1332=2√2/3; 0

13325=2500

13329=10

1333222222=2(x+y)(x²+xy+y²)

133325=14

1334=(-4/3; ∞)

133411=(-7;∞)

133411=x<-7

13343132=3

131442==B(7;5),C(1;-1)

13352=(1;√3)U(9;∞)

13365=2

1337=(2;1)(-1;-2)

133785123=1/6

1339=(-∞;5]

134181=20

134231=(1,5;6)

1342789463796=6

134310123112=6

1348121=11

135=-1

135=8

1350323320=[3;5]

1352=45m;90m

1352=8

135240210330=-3/4 √6

1351102400300=cosα

13522=(-2;2,5)

135240210330=-3/4√6

135210225=-√2/4

1353=³√25+³√10+³√4:3

133581=3

1352250=19

135492=7cm

1356090120=3√3

135715=-4+√6; -2; -6

135719=5y+13x-30=0

135719=y=-2x+5

136=1.5

13624=8(1/3x-6)²³

1363393=1/2

136383=x<-2

1367=-1/3ln lxl-7% +C

137070=4,33m

1371281337=-2,25

13713=[-2;3]

137137=3

1372=[-2;7)

138=(0;8)

1384=20

138610=1260000 tg

139=-2

1391518139=13200

1395=-1

1398113=3

14=1.2/3

14=213

14=63

14=4sin4x

14=x²/2-1/4sin4x+C

140=(40۫ ;40۫ ; 100)

140=20;90;70

141=1/4cos(1/4x-1)

1401050=a=10 d=10

1410515=2

141070210=1

14110=4

141102203096=1/25

14111234=24

14114=7 cm

141141375=0

1412=1/16

141211=18

14127232={8;10}

141610=60۫

141771=20c

141813=d=-1

142=√15/4

142=3

142=x-kez kelgen san

142=180

1420=(-П/6+2Пn; П/6+2Пn) nEZ

14212=2

14213513132=-31

142165=1

1422=-(4√2+√1)(√2+1)

1422=П/2n nEZ П/4/4k+1

1422=П/4(2k+1) kEZ ; Пn;

1422114221=2

1422142219=2/3

142222=cos2a

142257125415=7

14230=(-1/2; 3/7)

14230=-1/2; 3/7

14231=4

1423212=-1/2m8 n4

142332=0

1423322=-1/2m8 n4

1423601=3;-25

14242=6 jane 8 cm

1425=2 jane 7 cm

1426=216√22

1428=140 cm

1128=112 jane 140

14292323=2(2x²+6x+5)14x²-9

143=(0;3 )

143=-4372

143=484

1430=102

1432=1*2/3

1434=0,5

1434=-80

14380=(-3,8; 1,4)

143925213=(-2;-1)U(1;2)

144=24

144214=2016cm²

144214=22 cm

1442331221=(-∞;0]

144239223=3; 0

1442517=676П

14433205=7,75m/c

144382=x=-2,5

14443332=[0;1]U[3;∞)

1444932=2a/7b

14488=400cm²

1449=7%

144954032=2400 tg

145=24 cm²

145=П/4см

1451=(-∞; -3)U(3;∞)

14512=(-∞; 4,5)

14520=jauabi jok

14522302203=-5,2y²-2,6y+1,4

1456925=58

145615105=20,8

146=73

146=20

147=40%

1471211=1/x7+1

1471314725313=220

148201=4216=-1;63/39

14832=B()-8;4

14927=(-∞; 1]

1495πn=14 S25=-9864

15=(18;∞)

15=[-1;5]

15=2-√3

15=√3-1/2√2

15=10 minut

15=2

15=a=5

15=32,25%

15=30πm

15=2<x<5

15=2cm

15=5tg5x/cos 5x

150=12

150=125cm³

150150=cosα

1502=125cm³

150210135=√3/4

15034=√3

1510=10

1510213=-6

151025=0

15107=-1/8

1511207=47

1511511=1,5

151151511=2

1512=2/5

151211023=n=10; q=1/2

1513=-15/(5x+1)4

1513311012=1-33a/2a(3a+1)

151391320=4kmcag

1514=6/25

151413=28

1515=arccos1/5+2Пn<x<П-arcsin1/5+2Пn

1515=√2/2

151515=-tg15°

151518=[1/8;∞)

151524=12.5

151637=n=25; b=-1975

1517=8

152=[-5; -2)U[3; -∞)

152=-1/x²+5

152=-2√6/5

152017=1

15210322201=100

152108212=-5a/4b

152118=1

152123410=5115

152122813=50

15216=(12; 3)

1522=√2

15233013603=10 kg; 69%

1524=5;-5

152455375113=2*1/125

1525=5

1525202=5xy(3y+1-4x)

15250823=0,25

15261523=(3;∞)

1526220=3

152715125=16*1/3 or 16*1/9

15271527=14

152821012=-5a/4b

15295240=(-3; 5]

153=-1/x²-5e-3sin 3x

153=138

1531=(2; -2)

1531551=(5; 8)

1532=M=(7; -1)

153200=4

153203=8cm

15325=xͼ(-∞;5)

1535=2x³/3

1535=-315x

1535=-3/5x4

1535=9,375kg; 5,625 kg

1535 151=(1*2/3; 3)

1536=1

1536=-1

1536230=17

154=522

15414=20km/cag

1542311001=77

154385=60%

15459310129010=2,2

1546240=47

154960=132

155036=30cm

155124=[0;2]

155609030=40

155755=2

1561637=-1 1/6

15624816=n=28

1563=6,2 m; 6,2m; 3,2m

156342=10

1565=2sin20°cos5°

1571179=1/2sin8°

1575=2-√3/4

1575 55=2

158=(-∞; -1)U(7; ∞)

159=54cm²

15902=40%

15910=198cm²

15912=0

15920=126

16=√18

1600801=320k/c*400k/c

160255421=24

16040140205070130110=1

1605016125=4

1605502520=y(y-4): 5

161033405=15

16120=16П

16120=64(3+2√3)П

16125=80cm

1615=-30/(6x-1)

162=9; 25

162=-42

16212212=5/8

162163=4

1622=128(√2+1)П

162211=8cm

1623=2cm

16230=4; 3

162333=20

1623425=6

162423=28cm²

162482=1cm

162510=n=7b =-768

162510=n=8 b=-768

16258=√137cm³

16262318=3

1626376573=16; 26;65; 86; 9

162821622=(4a-b)/(4a+b)

163120=16(3+2√3)П

163192452115=a5=√3-1

3/2516324291=0

163292=[2;3]

16325=13

164025281054=√6/2

16420=(0; ∞)

164212=16

165=12

165122502=11m

16521=100;10

16532=1/3; 5

1657={-6;1}

16572={3;4}

1660=16

16626=160

16677=3

167510777=17; 11

168010=50km/cag

16812460=56,92;161,08

16813243=6

1682713=14; 24cm

1685696=32

1686=12cm

169=12

169=150cm²

169316=3,3/2 ; ¾

1713=12; 5

1715=64П см²

1715=16cm

17151=15

17152230=(0;1/2)

1716=30см

1716=15cm

171667=d=4

17171732={-6;0}

1722=√3

17221722175=xͼ(1;1,5)

1722382=1/3н/е-1/3

1722822428=-1,9

172515=210

172617=x>6

17273=23

1730=16cm

173150124=(-24;∞)

17326426=n=38

17326726=38

1738550=d=-8 C=-9450

174=[0;2]

17423=11

175=7500

175072170=868 т

175111175156=0,25

17527117=6

17534=1√2

17562=4

176=√3/2

176580=7,2cm

17842=117

179=1*1/3

18=5

18=81

18=3√2

18=(100;10)

1800=12

180218070=1/sinx

18090=0

18090=ctgx

18090360270=0

181043=n=33 S=1848

18113=121.1/3

1812111110=9,2; 14

18129=135cm²

1814=12;12;8

181431510=2km/sag

1815=120%

1815=3

181512=10cm

18162=b=9; q=3

182=27

182=4sin 8x

18203=410

182040=12√3sin40°; 12√3sin20°

1822=cos4x

1824=9km/sag

18245=9km/sag

1828=72cm²

183=684πcm3

1832=4

18362=108П см²

183670=(-∞;-2)U(7;∞)

184025=8kg; 10kg

18414216=52 kub metr

185=8500

1854=0,25

1860=12√3cm

18718721961962=1

18724=-3; 3

187245=11,25

18881=(16;2)

189=27

189=7/2

1893192718733156=56

19=15

19=361 ese

1913=5cm

191710=15

19251126=-0,625

1926=-567

193304=[-3;1]

1933721143=[-1/√3; 4/7)U[1/√3; 1)

19433=-1

19451945=18

194627863141154=0

1954154146582=5/11

196560175=5a-6b-4/4



5=x≠5П/2+5Пn; nEZ

5=1/25

5=1/5cosx/5

5=(-∞;5]

5=945

5=10

5=31.4 cm

5=5

5=5√3/4 cm

5=5n

5=120°

5=1:3

5=-5 ln5

5=75√3 cm²

5=3

5=e

5=15

50=125%

50=65°; 115°

50=25

50=Пn nEZ

5002=1/5(e -1)

50044=25km/sag

50045=20

50055=25; 20

5005916=47.2

501020=-1

501101=370

5020222=(0; 40)

50212525=-3

50222=-П/4

503025=60 ; 40

504=5

50436=1400km

505=3*1/3

5058=100°

50625=4:5

507=-5π/14

507=8

51=(4; +∞)

51=2.5<x<5

51=(Пn/5; П/20+Пn/5]

51=[5; 6)

51=2/(x+1) ln5

51=5

51=[0;1) U (1;∞)

5110=(-2;8)

510612=11a/30(x-2)

511=17

511023069=10

5115=(0; ∞)

511671256=b₁=16 q=±1/4

512=2

512=17cm

512=5

512=13

512=1/2

512=30

512=6.5

512=8cm; 15cm

512=210П

51207=168mr

51212=-√2/2

51213=90°

5121313=90°

51215121=1/2

5122132223=[1/5; 1]

5123=4-√11

512326=24

512334282=7

5124=(-∞;-4]U[2;∞)

51245124=5/3

5125175=2

51260=780√3

5126130150=x=log

x=lg

51264=16

513=60

5130902=120/169

5132=-5/12

513322=-5/12

513327=-1-√5;-1+√355

513430=18 және 12

51345=63/65

51351324=1

513753513=(1;1)

51391512=84

5142=(-4;-1)

5142332223=1*4/23

51450251265=1/16; 1

5145124=5/3

515=tuzu

5150=2175

51506147=-54

515100=2

5151216=96

515124=x=1

5151352=x=3

51515=35l

5152222324=x>0

515253155=x=4

51713=55

52=5-10/x+2

52=10 ln10

52=11

52=52°

52=216

52=5

52=5/x-2x

52=5*10/x+2

52=5x -1√x

520=(0;5)

52000=40000 tenge

5202042=3 km/s

520221802204324230=(-4;0)

52032=2

5204326217717=100

52045=0

52053=2

521=(-√5; 2)

521022=(x-2)(5ax-b-1)

521052152152=a+b/3(a-b)

521062860=a=4; d=2

52112=9

5212=1

51261=(x-2)2 квд + (y-4) 2квд=25 немесе (x-2) 2квд +(у+2) 2квд=25

521205210525=(2.5;13)

5213521110=x=1

52136280=-2/5

5214=-470

5216=1; 1/5

52180=0/3.6

522=√65/√5

522=√65/√5+√8; √104/√8+√5

522=sin3α

522=log 5

522=x>-2

5221=[1;∞)

52211452=2

5221500=1

52217=7

522190=-115°

52225=±1

52225=-1;1

522222024=2

5223=x=2.2

52231=[-4;-3)U(1;2]

52232=x≤-2;x≥0

52234=(9;4)

5225=3

5225=4

522722222=10(a²+b²)

523=5/3tg3x+c

523=10

523125=-14

5231323127=[-1;1]

5232=-1; -1/√5; 1/√5; 1

52320=2/5; -2/3

5232218=(-4;3]

52323=5y -45y

5232312=П/2

52335435=[-2;1]

52342=0,508

52342160=(0;4)

52342234=3a/4

5235=3;6

52351=шеш,жок

52351=x>1

52353=2

524=(-∞;9]

524=Пn; П/6+Пк/3

524=(-∞; -1/3)

524255=2

52450=(-3;3)

5246200428=7

525=1/1-√5

525=a₁=3 d=3

5252=1/3sin3x+c

5252=50

52521125=10

525357349=7/3

525425=2-2c

5254565200428=7

5255331729=(13/5;-4/5)

525588=14700

525735=65

526314222121=2x-1

527=5/2x+5/4sin2x+7x/2+c

5270=x=7

5270=5; -2;7;

5273=10

5280=120

52822=0

52822=-2; 0.4

52834124=12

52920=(-2;1/5)

52925311=[8;-2)

529642953=tubirleri jok

53=-5/2x²+3x+c

53=-5e

53=5n+3

53=6Псм³

53=6см³

53=60см³

53=2П/15+Пn

53=ч=2ж ч=8

53=шешими жок

53={5:3:-1}

530=2,5см

530=H=2,5 см

531211632=x<7/5

5312125=1/3

53125=x=10

53125131=(-6;6)>(0; 0)

5318329=x=-1

532=[3;5]

532=60

5321015155=2а²d/c³b³

53215521815=0;1

5322040=-1

532222=3

5323241223=7/23

5324233242=8.4

5331282522=da h=29

5332=20g ; 12g

53335=(2;3)(3;2)

53379425=(-∞; -4)

534=x>4/3

5350=1

53514=(-∞ ; -17/19)

535180=1

535223=2/(c²+3c)

5353=-ctgα

5353=tg°α

537=(21;16)

538=[3; ∞)

53821=(-∞;-6]

54=9√3

54=12П ; 54=15П

54=24

54=24√6 cm

54=36√3

54=36П см³

54=72°

54=9

54=П/3(2n+1)

54=П/5 n

54=П/5n / nЕZ

54=36П

54030140=40m ; 100m

54034798=16

541255=2

5413==2.6 ;0.2

54162564125=3

54221=±П/6+Пn; ±1/2arccos(-3/5)+Пк

5423221=(x+1)2(x-1)3

542322330=-√3;1;√3

5425910256=19km/cag

5428252=12

5430=93kg

5430=10cm2

5431=2

54354=1

5437=(9;4)()

54381=0

544=a

5440=3940

5440=8.8

5441=(81;16)

54454165=1

545=25П-50√2/8cm²

54520=j.jok

54532512=a+b/2

5454=2sinα

54540=П/2+Пn

54540=[4/5;5/4)

5460=13

5460=MA=3√3cm

54602530=2

54602530=5 kun

54630=П/4+Пn/2; П/2+Пn

54630=П/2(2x+1)

546362550=-1;1;-√5;√5

54657687=2/3

54802=1

5495247=(2;2)

55=1/25

55=cos4ß

55=18 kun

55=tg3α

55=5*ln5-5/x

55=27.6

55=a)-5;5; b)jok c)(-∞;0)

55=a)x=-5; x=5

b)x=x min ; x= x mfx

55=a-b/5

5512=(-1) k+1П/24+П/4k

551525=3

5520=11

5525=(√3;25]

55285353121431=(-4;-1)U(0;1)

553100016=18

553311=x≤3

554=9√x

554125=2

554252=1.25

554253=144

5543=[9 5√x4]

555275=5

5554=25

555425=ш. жок

55565=(√6+√2)/4

5562=±1/5arccos(2/5)+П/30+2П/5k

5569=36cm³

5591135=3

56=(-∞;0)U[2;3]

56=√43

56=15c; 10c

56=2√7cm

56=3*1/8cm

56=sin2α/cos3α

560=7.5cm²

56101=-60

56101102=10cm

561452312=0.7

561528=4/9mn

561818=36min;54min

56218=[-5;-3)

56230=7;8 cm

5625=14

56290={3;2}

56312121=x<7/5

563743541935=-3

5651=0.1

565223=(-3;1)

565223=-3;1

56551021=0;2

5656=-cosx

566=96cm

5660=10√3cm²

5660=6√3cm²

5660=7.5cm²

5660614=[3;6)

567=32

567302156=1/5

56754=-728/27; 364/27

568=35√2cm

568=7cm

568=7

569=10√2cm²

57=34

57=5(5+√221)

57=7 g/e8

57=7/5

57=√84/√5+√7;√60/√5+√7

571131911=1*3/11

572=-2*5 7-2x*ln5

575075001=0.05

5763415=125/78

57636075=11.31

5780=(-1.4;8)

5791=92cm

5795=123°

580161=j.jok

5804=20kg

58113=(75 j/e 57)

58113711299=ia (90; 75)

582334=12

58316332=9

5841556=2*77/96

585=1

585=-1

585=-6j/e -11

585525=15

58781231=d=1.2; a=3.9

589183=290.5

59=2.5cm jane 4,5cm

59=25√31cm³

5911355=3

5940=11

5971523=16/45



9=j.jok

9=12kg

9=162

9=81cm²

9=81√3

9=9П

90=КВАДРАТ

90=ромб

90=C

90=тікбурышты

9009913=0.2438

901=0

90100=50kg

90104=2c; 6c

901222=2.5kg

9015=2/√3

9015=50;45

90153=45

90153=√2

901532=45cm²

90180160270=2cosα

901922=3cm

902660=72Псм²

90290270=1/cosα

9068=2√2

908=64cm²

9084=6

9086=10CM

9092430=15

910=6.35cm

91017=36cm²

9103=205

91082=12cm

911=√94 cm

912=0

912=216

912=67.5

912=300

912=378cm²

9120=144П

9126330=-2

913=3

915=12cm

916=3:4

916=25Псм2

91612231=2.25

91624=25

91710=2.4

9175=722 5П/64см²

9180=196

91927270=1

92=1

92=3√2

920=(0;3)

920=0

920 x=a?=3

9205=(1;∞)

921=132

9215=(-3;1)U(1;3)

921673442=2

9222=(3+X+Y)(3-X+Y)

9222=1

92234=(3/9;3)

922512=3x-5y/3x+5y

9232=42+27X-18

9233=(-∞; 1)

92342=(-2;-1)

923432=2;3

92460=462√3П

92541530=-4.5

9262=-6

926271=-6

92680=-4; -2

9276381=4

929231=3X-2

929292=3X-2/3X-4

92949=1/8

93=3√2CM

93=(1/2;∞)

93=9

93=x=9

930=-1/2

9320=√X+3/√X-3

93227=2

932425=24

933=3√3cm

934=6*3/4

9352105232=49√3/2

935342=9X²-15X +15X

9360=X>1

9366414345=-31.86

9369=25

93873898197111081=-2m-5n

939113=3

939669=10cm

94=216√3cm2

94=36/25

9405=B=6 q=1/3

942=(3+2x)(3-2x)

943450=2

948143=252;360;336

949289329=0

9527635=9

9536195361=0

954=36(9x+5)³

9567156=1/8

9572275175=6

9573093=23.865

958050100100=150g

95922810=(-4;-√9;√4;-9)

96=64 см(3 куб)

960120=54П

961424=14;2

962=64cm³

9624=8 жылкы

963=1

96381=4

967628851807674=101.3

9727=6

9729311=(2;1)

973140=5

98=7CM

98112272=0

984=200kg

9845026=60ͦ

9856714=a+2/3-a

99=25

993142=1/9


Жазықтықтың жалпы теңдеуi


<variant> ;


Бiрiншi тамаша шек


<variant> ;




Түзудiң жалпы теңдеуi


<variant> ;






Анықтауышты есепте:

1

shpora.net